Enunciado

Calcule a função de rede e a resposta ao impulso, se a saída é i ( t ) .

Passo 1

Eu acredito é na rapaziada

Que segue em frente e segura o rojão

Eu ponho fé é na fé da moçada

Que não foge da fera e resolve a questão...

Com esse belo prólogo, vamos começar a resolução desta maravilhosa questão:

Como bem sabemos, o primeiro passo é transformar o circuito. Assim:

Assim, vamos calcular a função de transferência. Primeiramente, vamos usar o método das tensões de nó:

V - V g 1 + V 4 / s + V 2 s + 4 = 0

⇒ V - V g + s ⋅ V 4 + V 2 s + 4 = 0

⇒ 8 s + 2 V - 8 s + 2 V g + 2 s s + 2 V + 4 V = 0

⇒ 8 s + 16 + 2 s 2 + 4 s + 4 V - 8 s + 2 V g = 0

⇒ V = 8 s + 2 V g 2 s 2 + 12 s + 20 = 4 s + 2 V g s 2 + 6 s + 10

De posse da tensão no nó, podemos encontrar I ( s ) pela relação:

I = V 2 s + 4 = 2 2 s + 4 V g ( 2 s + 4 ) ( s 2 + 6 s + 10 ) = 2 V g s 2 + 6 s + 10

Passo 2

Uma vez que conhecemos a entrada e a saída no domínio da frequência, podemos encontrar a função de transferência:

H s = I V g = 1 V g 2 V g s 2 + 6 s + 10 ⇒ H s = 2 s 2 + 6 s + 10

Passo 3

Para encontrarmos a resposta ao impulso, vamos voltar com a função de rede para o domínio do tempo. Antes, vamos fazer uma modificação na função de transferência:

H s = 2 s 2 + 6 s + 10 = 2 s 2 + 6 s + 9 + 1 = 2 s + 3 2 + 1 = 2 ⋅ 1 s + 3 2 + 1

Assim, essa expressão “mamão com açúcar” é muito fácil de relacionar com sua função no domínio do tempo:

h t = 2 ⋅ e - 3 t ⋅ sin ⁡ t ⋅ u ( t )

Resposta

H s = 2 s 2 + 6 s + 10

h t = 2 ⋅ e - 3 t ⋅ sin ⁡ t ⋅ u ( t )