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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 20

Calcule as series exponenciais de Fourier para as funções:

a) f t = e - t ,     - 1 < t < 1

f t + 2 = f ( t )

b) f t = t ,           - 1 < t < 1 2 - t ,                               1 < t < 3

f t + 4 = f ( t )

c) f t = t ,           0 < t < 1

f t + 1 = f ( t )

Passo 1

Nessa questão ele pede para calcular as series exponenciais de Fourier para as funções:

a) f t = e - t ,     - 1 < t < 1

f t + 2 = f ( t )

b) f t = t ,           - 1 < t < 1 2 - t ,                               1 < t < 3

f t + 4 = f ( t )

c) f t = t ,           0 < t < 1

f t + 1 = f ( t )

Aposto que você tá com essa cara né? Hahaha fica tranquilo e vem.

Passo 2

Na letra (a), sabendo que

f t = e - t ,     - 1 < t < 1

f t + 2 = f ( t )

Lembrando que para série trigonométrica devemos nos lembrar que,

f t = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n w 0 t + b n sin ⁡ n w 0 t )

a 0 = 2 T ∫ 0 T f T d t

a n = 2 T ∫ 0 T f T cos ⁡ n π x T d t

b n = 2 T ∫ 0 T f T sin ⁡ n π x T

Ficando,

f t = e - t T ∑ n = - ∞ ∞ 4 n ( 1 - 2 π ) e j 2 π t

Passo 3

Na letra (b) para,

f t = t ,           - 1 < t < 1 2 - t ,                               1 < t < 3

f t + 4 = f ( t )

Lembrando que para série trigonométrica devemos nos lembrardas formulas dadas no passo 1 que fica por fim formada como,

f t = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ v w 0 t + b n sin ⁡ n w 0 t )

f t = e - t T ∑ n = - ∞ ∞ 4 n ( 1 - 2 π ) e j 2 π t

E por fim na letra ( c ) tendo,

f t = t ,           0 < t < 1

f t + 1 = f ( t )

Formando a formula geral da série trigonométrica vamos ter que,

f t = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ v w 0 t + b n sin ⁡ n w 0 t )

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 π e j π t

Espero ter ajudado, até próxima.

Resposta

a) f t = e - t T ∑ n = - ∞ ∞ 4 n ( 1 - 2 π ) e j 2 π t

b) f t = e - t T ∑ n = - ∞ ∞ 4 n ( 1 - 2 π ) e j 2 π t

c) ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 π e j π t