Enunciado

Calcule L [ sin ⁡ t u ( t ) usando (18.9) e o resultado do Ex. 18.1.1 (b).

Passo 1

Eeeeeeeeeeeiiita lasqueira. 18.9; 18.1.1. Tá parecendo mais coordenadas gps. Então vamos começar traduzindo esses números todos.

A equação 18.9 é a transformada da derivada e o seu resultado é o seguinte:

L d f ( t ) d t = s F s - f ( 0 )

E o resultado do exercício 18.1.1 nada mais é do que a transformada de cos ⁡ k t   u ( t )

L cos ⁡ t = s s 2 + 1 2

Passo 2

Assim, o que o exercício propõe é calcular a transformada do seno a partir da transformada do cosseno, considerando que estas 2 grandezas se relacionam da seguinte maneira:

d ( sin ⁡ t ) d t = cos ⁡ t

Então,

L cos ⁡ t = L d sin ⁡ t d t ⇒ L d sin ⁡ t d t = s ⋅ F s - f ( 0 )

É importante frisar que nesta situação,

f t = sin ⁡ t               e             F s = L sin ⁡ t

Além disso, como não há condições iniciais, f 0 = 0 .

Passo 3

De posse dessas informações, vamos juntar o que temos em apenas uma equação:

L cos ⁡ t = s ⋅ F s = s s 2 + 1 2 = s ⋅ 1 s 2 + 1

Com isso, concluímos que

F s = 1 s 2 + 1

Resposta

L sin ⁡ t = 1 s 2 + 1