Enunciado

Calcule a transformada de Laplace da função

f t =   1 ,                         0 < a < t < b 0 ,       e m   c a s o   c o n t r á r i o

Passo 1

Vamos começar escrevendo esta função, que é definida por 2 equações, em apenas uma equação. “Mas como assim?”, você talvez possa estar se perguntando. É simples, vamos usar um conjunto de funções degrau, as famosas funções “u(t)” para marcar o ponto onde a função começa e onde a função termina. E como seria isso? Vamos ver abaixo:

A primeira equação tem valor 1 no intervalo dado. Vamos usar duas funções degrau: u(t – a) e u(t – b). Como a é o limite inferior, a função degrau associada a ele fica positiva e b, o limite superior, tem sua função degrau negativa. Assim, teríamos a seguinte maneira de representar f(t):

f t = 1 ⋅ u t - a - u t - b ⇒ f t = u t - a - u ( t - b )

Como a segunda equação tem valor “0”, então ela não será inclusa na equação de f(t).

Passo 2

De posse da função representada por funções degrau, vamos usar as propriedades da Transformada de Laplace para encontrarmos a transformada desta função. A propriedade em questão é o deslocamento no tempo. Ela diz que cada valor de tn que a gente subtrai na função degrau, tipo u(t – tn), tem que ser compensado na transformada multiplicando a transformada original por   e - t n ⋅ s . Se não ficou claro essa breve explicação teórica, vamos ver como ficaria na prática:

L f t = 1 s ⋅ e - a s - 1 s ⋅ e - b s ⇒   L f t = e - a s - e - b s s

Resposta

L f t = e - a s - e - b s s