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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.1 - Ex. 1a

Calcule a transformada de Laplace de

a ) sin k t u ( t )

Passo 1

Faaaaaaaaaaaaala, galera. Vamos dar início a nossa jornada no mundo das transformadas de Laplace. E nada melhor que começar resolvendo uma questãozinha de transformada pela definição. Simbora!

A grande sacada que vai fazer economizarmos um tempo precioso é saber expressar o seno como uma combinação de exponenciais. Tipo assim

sin k t = (e^(î k t) - e^(- i k t))/(2 i)

onde i = - sqrt(1)

Passo 2

Agora vamos usar a definição propriamente dita:

L [ sin k t ] = int_0^(oo) (sin k t) * e^(- s t) * d t = int_0^(oo) ((e^(i k t) - e^(- i k t))/(2 i)) e^(- s t) d t

= (1)/(2 i) underset(A -> oo)(lim) int_0^A (e^(i k t) * e^(- s t) - e^(- i k t) * e^(- s t)) = (1)/(2 i) underset(A -> oo)(lim) int_0^A (e^(- (s - i k) * t) - e^(- (s + i k) * t)) * d t

Para que as integrais convirjam, é necessário que s - i k > 0 e s + i k > 0 para que as exponenciais convirjam à medida “t” cresça positivamente. Assim, ficamos com a seguinte expressão:

(1)/(2 i) underset(A -> oo)(* l i m) [(e^(- (s - i k) * A))/(- (s - i k)) - (e^(- (s + i k) * A))/(- (s + i k)) - (e^(- (s - i k) * 0))/(- ( s - i k )) + (e^(- (s + i k) * 0))/(- ( s + i k ))]

Os expoentes das primeira e segunda fração tendem a - oo . Com isso, estas frações tendem a zero. Assim, continuamos com

(1)/(2 i) underset(A -> oo)(* l i m) [(e^(- (s - i k) * A))/(- (s - i k)) - (e^(- (s + i k) * A))/(- (s + i k)) - (e^(- (s - i k) * 0))/(- ( s - i k )) + (e^(- (s + i k) * 0))/(- ( s + i k ))] = (1)/(2 i) * [(e^0)/(( s - i k )) - (e^0)/(( s + i k ))]

Passo 3

Agora que encontramos o limite, falta apenas finalizar a expressão encontrada:

(1)/(2 i) * [(e^0)/(( s - i k )) - (e^0)/(( s + i k ))] = (1)/(2 i) * (s + i k - (s - i k))/((s - i k) (s + i k)) = (1)/(2 i) * (2 i k)/(s^2 - i^2 k^2)

Como i^2 = - 1 , obtemos

(1)/(2 i) * (2 i k)/(s^2 - i^2 k^2) = (k)/(s^2 - (- 1 * k^2)) = (k)/(s^2 + k^2)

Resposta

L [sin k t u ( t )] = (k)/(s^2 + k^2)