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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.1 - Ex. 1a

Calcule a transformada de Laplace de

a ) sin ⁡ k t u ( t )

Passo 1

Faaaaaaaaaaaaala, galera. Vamos dar início a nossa jornada no mundo das transformadas de Laplace. E nada melhor que começar resolvendo uma questãozinha de transformada pela definição. Simbora!

A grande sacada que vai fazer economizarmos um tempo precioso é saber expressar o seno como uma combinação de exponenciais. Tipo assim

sin ⁡ k t = e î k t - e - i k t 2 i

onde i = - 1

Passo 2

Agora vamos usar a definição propriamente dita:

L [ sin ⁡ k t ] = ∫ 0 ∞ sin ⁡ k t ⋅ e - s t ⋅ d t = ∫ 0 ∞ e i k t - e - i k t 2 i e - s t d t

= 1 2 i lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A e i k t ⋅ e - s t - e - i k t ⋅ e - s t = 1 2 i lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s - i k ⋅ t - e - s + i k ⋅ t ⋅ d t

Para que as integrais convirjam, é necessário que s - i k > 0 e s + i k > 0 para que as exponenciais convirjam à medida “t” cresça positivamente. Assim, ficamos com a seguinte expressão:

1 2 i ⋅ l i m A → ∞   e - s - i k ⋅ A - s - i k - e - s + i k ⋅ A - s + i k - e - s - i k ⋅ 0 - ( s - i k ) + e - s + i k ⋅ 0 - ( s + i k )  

Os expoentes das primeira e segunda fração tendem a - ∞ . Com isso, estas frações tendem a zero. Assim, continuamos com

1 2 i ⋅ l i m A → ∞   e - s - i k ⋅ A - s - i k - e - s + i k ⋅ A - s + i k - e - s - i k ⋅ 0 - ( s - i k ) + e - s + i k ⋅ 0 - ( s + i k )   = 1 2 i ⋅ e 0 ( s - i k ) - e 0 ( s + i k )  

Passo 3

Agora que encontramos o limite, falta apenas finalizar a expressão encontrada:

1 2 i ⋅ e 0 ( s - i k ) - e 0 ( s + i k ) = 1 2 i ⋅ s + i k - s - i k s - i k s + i k = 1 2 i ⋅ 2 i k s 2 - i 2 k 2

Como i 2 = - 1 , obtemos

1 2 i ⋅ 2 i k s 2 - i 2 k 2 = k s 2 - - 1 ⋅ k 2 = k s 2 + k 2

Resposta

L sin ⁡ k t u ( t ) = k s 2 + k 2