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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.5 - Ex. 1a

Calcule x ( t ) , para t > 0 , usando transformadas de Laplace:

a ) x^(' ') + 3 x^' + 2 x = delta ( t )

x (0^-) = x^' (0^-) - 0

Passo 1

E lá vamos nós! Bora começar a resolver equações diferenciais usando transformadas de Laplace. O que precisamos para começar é da relação

L [f^(' ') (t)] = s^2 F (s) - s * f (0) - f^' (0)

Além disso, uma função qualquer genérica k ( t ) tem transformada K ( s ) . No nosso caso, juntando essas duas informações, teríamos

s^2 X (s) - s * x (0) - x^' (0) + 3 [s X (s) - x (0)] + 2 X (s) = 1

=> s^2 X (s) + 3 s X (s) + 2 X (s) = 1 => [s^2 + 3 s + 2] X (s) = 1

=> X (s) = (1)/(s^2 + 3 s + 2) = (1)/(( s + 1 ) ( s + 2 ))

Passo 2

De posse da transformada de Laplace bonitinha e cheirosinha, vamos encontrar a expansão em frações parciais:

X (s) = (1)/(( s + 1 ) ( s + 2 )) = (A)/(s + 1) + (B)/(s + 2)

A = ((s + 1) X (s)|_s = - 1 = ((1)/(s + 2)|_s = - 1 = (1)/(- 1 + 2) = (1)/(1) => A = 1

B = ((s + 2) X (s)|_s = - 2 = ((1)/(s + 1)|_s = - 2 = (1)/(- 2 + 1) = (1)/(- 1) => B = - 1

Assim, X ( s ) pode ser representado por

X (s) = (1)/(s + 1) - (1)/(s + 2)

Passo 3

Finalmente, o que nos resta é calcular a transformada inversa. Essas são bem simples, visto que são apenas translações. Assim, deveremos incorporar exponenciais na função de acordo com a translação:

x (t) = [e^(- t) - e^(- 2 t)] u ( t )

Resposta

x (t) = [e^(- t) - e^(- 2 t)] u ( t )