Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.5 - Ex. 1a

Calcule x ( t ) , para t > 0 , usando transformadas de Laplace:

a )   x ' ' + 3 x ' + 2 x = δ ( t )

x 0 - = x ' 0 - - 0

Passo 1

E lá vamos nós! Bora começar a resolver equações diferenciais usando transformadas de Laplace. O que precisamos para começar é da relação

L f ' ' t = s 2 F s - s ⋅ f 0 - f ' 0

Além disso, uma função qualquer genérica k ( t ) tem transformada K ( s ) . No nosso caso, juntando essas duas informações, teríamos

s 2 X s - s ⋅ x 0 - x ' 0 + 3 s X s - x 0 + 2 X s = 1

⇒ s 2 X s + 3 s X s + 2 X s = 1 ⇒ s 2 + 3 s + 2 X s = 1

⇒ X s = 1 s 2 + 3 s + 2 = 1 ( s + 1 ) ( s + 2 )

Passo 2

De posse da transformada de Laplace bonitinha e cheirosinha, vamos encontrar a expansão em frações parciais:

X s = 1 ( s + 1 ) ( s + 2 ) = A s + 1 + B s + 2

A = s + 1 X s s = - 1 = 1 s + 2 s = - 1 = 1 - 1 + 2 = 1 1 ⇒ A = 1

B = s + 2 X s s = - 2 = 1 s + 1 s = - 2 = 1 - 2 + 1 = 1 - 1 ⇒ B = - 1

Assim, X ( s ) pode ser representado por

X s = 1 s + 1 - 1 s + 2

Passo 3

Finalmente, o que nos resta é calcular a transformada inversa. Essas são bem simples, visto que são apenas translações. Assim, deveremos incorporar exponenciais na função de acordo com a translação:

x t = e - t - e - 2 t u ( t )

Resposta

x t = e - t - e - 2 t u ( t )