Enunciado

Um capacitor de placas paralelas em repouso em S 0 e com inclinação de 45 ° em relação ao eixo x 0 tem densidades de carga ±   σ 0 nas duas placas (Figura 12.41). O sistema S tem move-se para a direita à velocidade v em relação ao S 0 .

  1. Encontre E 0 , o campo em S 0
  2. Encontre E , o campo em S.
  3. Que ângulo as placas formam com o eixo x?
  4. O Campo é perpendicular às placas em S?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para a)

Sabemos que o campo elétrico entre placas paralelas é:

E 0 = σ 0 ϵ 0

Mas isso é quanto são perfeitamente ajustadas ao eixo, tendo angulação, temos:

E 0 = σ 0 ϵ 0   cos ⁡ 45 °   x ^ + sin ⁡ 45 ° y ^

Como para seno e cosseno o ângulo de 45° é 1 2 , logo:

E 0 = σ 0 2   ϵ 0 -   x ^ + y ^

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

Vemos na equação 12.108 que:

E x - = E x

E y - = γ E y - v B z

E z - = γ E z - v B y

Assim:

E x = E x 0 = σ 0 2   ϵ 0

E y = γ E y o = γ σ 0 2   ϵ 0

E z = 0

E = σ 0 2   ϵ 0 - x ^ + γ y ^

Passo 3

Para c)

Sabemos que:

tan ⁡ θ = γ

θ = tan - 1 ⁡ γ

Para d)

Façamos um versos n:

E que n é perpendicular ao plano S, logo:

n ^ = d d θ cos ⁡ θ x ^ + sin ⁡ θ   y ^ =   - sin ⁡ θ   x ^ +   cos ⁡ θ   y ^

E obtivemos E no item b, logo E :

E = σ 0 2   ϵ 0     1 + γ 2

Assim obtemos um ângulo α entre n ^   e E

E ∙ n ^ E = cos ⁡ α

cos ⁡ α = 1 1 + γ 2 sin ⁡ θ + γ cos ⁡ θ = cos ⁡ θ 1 + γ 2 tan ⁡   θ + γ

Mas tan ⁡ θ = γ

cos ⁡ α = 2 γ cos ⁡ θ 1 + γ 2

Mas γ = tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ = 1 cos 2 ⁡ θ - 1 → γ 2 = 1 cos 2 ⁡ θ - 1 → γ 2 + 1 = 1 cos 2 ⁡ θ

Logo: 1 γ 2 + 1 = cos 2 ⁡ θ → 1 γ 2 + 1 = cos ⁡ θ

Portanto:

cos ⁡ α = 2 γ cos ⁡ θ 1     cos ⁡ θ = 2 γ cos 2 ⁡ θ = 2 γ γ 2 + 1

∴ cos ⁡ α   = 2 γ γ 2 + 1

Para ser perpendicular cos ⁡ α = 90   ° = 0 . Ou seja, é impossível de ser perpendicular.

Resposta

Para a)

E 0 = σ 0 2   ϵ 0 -   x ^ + y ^

Para b)

E = σ 0 2   ϵ 0 - x ^ + γ y ^

Para c)

θ = tan - 1 ⁡ γ

Para d)

Não, não é perpendicular.