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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 9

Considere um circuito sem fontes que tem uma resposta v t = v 0 e - t / τ V . Mostre que uma linha reta que é tangente ao gráfico desta resposta no tempo t 1 intercepta o eixo de tempo (abscissa) no tempo t 1 + τ . (Note que a Fig. 8.7 é o caso t = 0 .)

Passo 1

Iae, meus queridos!! Td blzinha??

Para provar o enunciado, podemos chutar qualquer valor para v 0 e τ . Por exemplo, vamos usar v 0 = 5 V , R = 5 Ω e C = 1 / 10 F .

Nesse caso, τ = R C = 5 · 1 / 10 , portanto:

τ = 0,5

A resposta v ( t ) fica...

v t = 5 e - t / 0,5 V

Vamos plotar esse gráfico.

A linha verde, se trata de v ( t ) e a tracejada de τ .

Passo 2

Vamos derivar v ( t ) .

v ' t = - 10 e - 2 t

Também vamos relembrar a formula da reta tangente:

y t = f ' t n t - t n + f t n .

Vamos escolher v ( 0 ) primeiramente.

t n = 0 , v ' 0 = - 10 e v 0 = 5

y t = - 10 t - 0 + 5

y t = - 10 t + 5

Nesse instante, t n + τ = τ

Vamos plotar o gráfico com y v ( 0 ) .

Vemos que por enquanto, o enunciado se mostrou correto, o ponto de intersecção da reta tangente ao gráfico v ( t ) com o eixo t é t + τ .

Passo 3

Agora que entendemos, vamos testar em outro ponto qualquer do gráfico, vamos tentar em t = 1 .

t n = 1 , v ' 1 = - 1,353352832 e v 0 = 0,676676416

y t = - 1,353352832 t - 1 + 0,676676416

y t = - 1,353352832 t + 2,030029249

Vamos plotar o gráfico nesse caso.

Se τ = 0,5 e t = 1 , nesse caso, a verificação é satisfeita, então provamos que a intersecção entre a reta tangente de v 0 e - t / τ com o eixo das abscissas possui um valor de ( t n + τ ) .

Foi de boa? Bora pra mais uma!

Resposta

Resposta no decorrer do passo-a-passo.