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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 17

Dada f ( t )   = f 1 t f 2 ( t ) , mostre que

F ( ω ) = ( 1 / 2 π ) ∫ - ∞ ∞ F 1 u F 2 ( ω - u ) d u .

Sugestão: em primeiro lugar, use a integral de definição para expressar F(v) como

F ω = ∫ - ∞ ∞ f 1 t f 2 ( t ) e - j ω t d t .

Em segundo lugar, use a transformada inversa para escrever

f 1 t = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ F 1 u e j ω t d u

Em terceiro lugar, substitua a expressão de   f 1 ( t ) na integral de definição e, então, troque a ordem de integração.

Passo 1

Falaaa, pessoal! Como vocês estão?

Bora pra mais uma questãozinha pra exercitar o que a gente sabe sobre transformada de Fourier!

Vamos fazer uma série de desenvolvimentos para a equação, inicialmente tempos que:

F f 1 t f 2 ( t ) = ∫ - ∞ ∞ 1 2 π ∫ - ∞ ∞ F 1 u   e j t u d u f 2 t e - j ω t   d t .

Desenvolvendo:

F f 1 t f 2 t = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ F 1 u f 2 t e - j ω t e j t u d u   d t

Passo 2

Por fim:

F f 1 t f 2 t = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ F 1 u F 2 ω - u d u  

Resposta

F f 1 t f 2 t = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ F 1 u F 2 ω - u d u