Dada a transformada calcule f ( t ) .

Passo 1

Iae, meus queridos! Td certinho??

Essa questão vai ser bem tranquilinha, ela nos deu F (s) e temos que calcular a antitransformada f ( t ) .

F (s) = (3 s^2 + 8 s + 8)/((s + 1)^2 ( s + 2 ))

Vamos utilizar o método das frações parciais para calcular f ( t ) .

(3 s^2 + 8 s + 8)/((s + 1)^2 ( s + 2 )) = (K_1)/((s + 1)^2) + (K_2)/(s + 1) + (K_3)/(s + 2)

Para K_1 .

K_1 = ((3 s^2 + 8 s + 8)/((s + 1)^2 (s + 2)) (s + 1)^2|_s = - 1

K_1 = ((3 s^2 + 8 s + 8)/((s + 2))|_s = - 1

K_1 = (3 (- 1)^2 + 8 (- 1) + 8)/(- 1 + 2)

K_1 = 3

Para K_3 .

K_3 = ((3 s^2 + 8 s + 8)/((s + 1)^2 (s + 2)) ( s + 2 )|_s = - 2

K_3 = ((3 s^2 + 8 s + 8)/((s + 1)^2)|_s = - 2

K_3 = (3 ( - 2 )^2 + 8 ( - 2 ) + 8)/((- 2 + 1)^2)

K_3 = 4

Para K_2 .

((3 s^2 + 8 s + 8)/((s + 1)^2 (s + 2)) = (3)/((s + 1)^2) + (K_2)/(s + 1) + (4)/(s + 2)|_s = 1

(3 ( 1 )^2 + 8 ( 1 ) + 8)/((( 1 ) + 1)^2 (( 1 ) + 2)) = (3)/((( 1 ) + 1)^2) + (K_2)/(( 1 ) + 1) + (4)/(( 1 ) + 2)

(3 + 8 + 8)/((2)^2 (3)) = (3)/((2)^2) + (K_2)/(2) + (4)/(3)

(19)/(12) = (3)/(4) + (K_2)/(2) + (4)/(3)

(K_2)/(2) = (19)/(12) - (3)/(4) - (4)/(3)

K_2 = - 1

Passo 2

Reescrevendo a função F (s) , temos.

F (s) = (3)/((s + 1)^2) - (1)/(s + 1) + (4)/(s + 2)

Aplicando a transformada inversa ou antitransformada, temos que:

(1) L^(- 1) [(3)/((s + 1)^2)] = 3 L^(- 1) [(1)/((s + 1)^2)] = 3 t e^(- t)

(2) L^(- 1) [(1)/(s + 1)] = e^(- t)

(3) L^(- 1) [(4)/(s + 2)] = 4 L^(- 1) [(1)/(s + 2)] = 4 e^(- 2 t)

Dessa forma, temos:

f (t) = 3 t e^(- t) - e^(- t) + 4 e^(- 2 t)

Achou fácil? Vamos praticar bastante pro 10 vir!

Resposta

f (t) = 3 t e^(- t) - e^(- t) + 4 e^(- 2 t)