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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 46a

Dadas as funções a seguir

x t = 2 δ t ,       y t = 4 u t ,       z t = e - 2 t u t

Calcule as seguintes operações:

x t * y t

Passo 1

Pois bem, da teoria, sabemos que * representa a convolução de duas funções e que tem a seguinte definição:

x t * y t = ∫ 0 ∞ x τ y t - τ d τ   →

Substituindo então as nossas funções D i g i t e   a   e q u a ç ã o   a q u i . e D i g i t e   a   e q u a ç ã o   a q u i . aqui:

x t * y t = ∫ 0 ∞ 2 δ τ ⋅ 4 u t - τ d τ   →

Bora calcular essa integral então!

Passo 2

Poxa, sabemos quem é a função degrau...

u x = 1 ,       x ≥ 0 0 ,         x < 0

Trocando x por t - τ e tendo em mente que a variável de integração é o τ ( t dentro da integral aí é apenas uma “constante”)...

u t - τ = 1 ,       t - τ ≥ 0 0 ,         t - τ < 0

u t - τ = 1 ,       - τ ≥ - t 0 ,         - τ < - t   →

u t - τ = 1 ,       τ ≤ - t 0 ,         τ > t       →

Como τ varia atualmente de 0 ao infinito, vamos considerar agora que ele varie apenas de 0 ao t (por que assim τ vai ser menor que t   com certeza e a função degrau vai passar a ser 1 ):

x t * y t = ∫ 0 ∞ 2 δ τ ⋅ 4 u t - τ d τ   →

x t * y t = ∫ 0 t 2 δ τ ⋅ 4 u t - τ d τ   →

x t * y t = ∫ 0 t 2 δ τ ⋅ 4 ⋅ 1 d t   →

x t * y t = 8 ∫ 0 t δ τ d t   →

Ora, pela definição de função delta de Dirac:

∫ - ∞ ∞ δ x d x = ∫ 0 0 δ x d x = 1

Isso significa que o intervalo de integração precisa conter o x = 0 , coso contrário a integral assume 0 , como aqui, por exemplo:

∫ 3 ∞ δ x d x = 0

No nosso caso isso acontece sempre, já que a integral sempre começa de 0 :

x t * y t = 8 ∫ 0 t δ τ d t = 8 ⋅ 1 ,         t ≥ 0   0 ,                       t < 0 =

x t * y t = 8 ,                   t ≥ 0   0 ,                       t < 0

Podemos representar isso em forma de degrau...

x t * y t = 8 u t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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