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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 46d

Dadas as funções a seguir

x t = 2 δ t ,       y t = 4 u t ,       z t = e - 2 t u t

Calcule as seguintes operações:

y t * y t + z t

Passo 1

Pois bem, da teoria, sabemos que * representa a convolução de duas funções e que tem a seguinte definição:

y t * y t + z t = ∫ 0 ∞ y τ y t - τ + z t - τ d τ   →

Substituindo então as nossas funções y e z aqui:

y t * y t + z t = ∫ 0 ∞ 4 u τ 4 u t - τ + e - 2 t - τ u t - τ d τ  

Bora calcular essa integral então!

Passo 2

Poxa, sabemos quem é a função degrau...

u x = 1 ,       x ≥ 0 0 ,         x < 0

Trocando x por t - τ e tendo em mente que a variável de integração é o τ ( t dentro da integral aí é apenas uma “constante”)...

u t - τ = 1 ,       t - τ ≥ 0 0 ,         t - τ < 0

u t - τ = 1 ,       - τ ≥ - t 0 ,         - τ < - t   →

u t - τ = 1 ,       τ ≤ - t 0 ,         τ > t       →

Como τ varia atualmente de 0 ao infinito, vamos considerar agora que ele varie apenas de 0 ao t (por que assim τ vai ser menor que t   com certeza e a função degrau vai passar a ser 1 ):

y t * y t + z t = ∫ 0 ∞ 4 u τ 4 u t - τ + e - 2 t - τ u t - τ d τ   →

y t * y t + z t = ∫ 0 t 4 u τ 4 + e - 2 t - τ d τ   →

Bem, se τ é menor que t , mas varia de 0 a t , então ele é maior que 0 . Isso significa que esse outro degrau aí também é 1 :

y t * y t + z t = ∫ 0 t 4 u τ 4 + e - 2 t - τ d τ     →

y t * y t + z t = 4 ∫ 0 t 4 + e - 2 t - τ d τ   →

y t * y t + z t = 4 ∫ 0 t 4 d τ + ∫ 0 t e - 2 t - τ d τ   →

Lembre-se de que e - 2 t - τ = e 2 τ ⋅ e - 2 t , e como t é constante pelos olhos da integral...

y t * y t + z t = 16 t + ∫ 0 t e - 2 t - τ d τ   →

y t * y t + z t = 16 t + 4 e - 2 t ∫ 0 t e 2 τ d τ   →

y t * y t + z t = 16 t + 4 e - 2 t e 2 τ 2 0 t   →

y t * y t + z t = 16 t + 4 e - 2 t e 2 t 2 - e 0 2   →

y t * y t + z t = 16 t + 4 e - 2 t e 2 t 2 - 1 2   →

y t * y t + z t = 16 t + 4 e - 2 t e 2 t 2 - 4 e - 2 t 2   →

y t * y t + z t = 16 t + 2 - 2 e - 2 t

Resposta

16 t + 2 - 2 e - 2 t

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