Enunciado

Determine as expressões da série de Fourier para as tensões periódicas da Figura P16.2. Observe que a Figura P16.2(a) mostra uma onda quadrada; a Figura P16.2(b) mostra uma onda na saída de um retificador de onda completa, onde v ( t ) = V m s e n ⁡ ( π / T ) t , 0 ≤ t ≤ T e a Figura P16.2(c) ilustra uma onda na saida de um retificador de meia-onda, onde v ( t ) = V m  s e n ⁡ ( 2 π / T ) t , 0 ≤ t ≤ T / 2 .

Passo 1

E aí galera partiu mais uma questão de circuitos elétricos? Então vem comigo 😊

O exercício pede que a gente determine as expressões da série de Fourier para as tensões periódicas da Figura P16.2. Observe que a Figura P16.2(a) mostra uma onda quadrada; a Figura P16.2(b) mostra uma onda na saída de um retificador de onda completa, onde v ( t ) = V m s e n ⁡ ( π / T ) t , 0 ≤ t ≤ T e a Figura P16.2(c) ilustra uma onda na saida de um retificador de meia-onda, onde v ( t ) = V m  s e n ⁡ ( 2 π / T ) t , 0 ≤ t ≤ T / 2 .

[a] Função ímpar com simetria de meia e quarto de onda, a v = 0 , a k = 0 para todo k , b k = 0 para k par; para k ímpar temos

b k = 8 T ∫ 0 T / 4   V m s i n ⁡ k w 0 t d t = 4 V m k π , k  odd

E v ( t ) = 4 V m π ∑ n = 1,3 , 5 ∞   1 n s i n ⁡ n ω 0 t V

Passo 2

[b] Função par: b k = 0 for k

a v = 2 T ∫ 0 T / 2   V m s i n ⁡ π T t d t = 2 V m π a k = 4 T ∫ 0 T / 2   V m s i n ⁡ π T t c o s ⁡ k ω 0 t d t = 2 V m π 1 1 - 2 k + 1 1 + 2 k

= 4 V m / π 1 - 4 k 2

E v ( t ) = 2 V m π 1 + 2 ∑ n = 1 ∞   1 1 - 4 n 2 c o s ⁡ n ω 0 t V

Passo 3

[c]  a v = 1 T ∫ 0 T / 2   V m s i n ⁡ 2 π T t d t = V m π

a k = 2 T ∫ 0 T / 2   V m s i n ⁡ 2 π T t c o s ⁡ k ω 0 t d t = V m π 1 + c o s ⁡ k π 1 - k 2

Note:   a k = 0 para k -odd,   a k = 2 V m π 1 - k 2   para k even, b k = 2 T ∫ 0 T / 2   V m s i n ⁡ 2 π T t s i n ⁡ k ω 0 t d t = 0  

para   k = 2,3 , 4 , … para k = 1 , temos b 1 = V m 2 ;   portanto

v ( t ) = V m π + V m 2 s i n ⁡ ω 0 t + 2 V m π ∑ n = 2,4 , 6 ∞   1 1 - n 2 c o s ⁡ n ω 0 t   V

Resposta

a. v ( t ) = 4 V m π ∑ n = 1,3 , 5 ∞   1 n s i n ⁡ n ω 0 t V

b.   v ( t ) = 2 V m π 1 + 2 ∑ n = 1 ∞   1 1 - 4 n 2 c o s ⁡ n ω 0 t V

c.   v ( t ) = V m π + V m 2 s i n ⁡ ω 0 t + 2 V m π ∑ n = 2,4 , 6 ∞   1 1 - n 2 c o s ⁡ n ω 0 t   V