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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 40

10.40) Determine i(0) e v(0) no Prob. 10.39, tal que a componente natural desapareça e i seja simplesmente a componente forçada.

Passo 1

Bora para mais um exercício, galerinha???

Nosso circuito é mostrado abaixo:

Podemos verificar que:

i L = i C = i

i L = C d V C d t = 1 6 d V C d t

Fazendo LKT no circuito:

20 cos ⁡ 6 t = 4 i + 1 2 d i d t + V C

20 cos ⁡ 6 t = 4 6 d V C d t + 1 12 d 2 V C d t 2 + V C

d 2 V C d t 2 + 8 d V C d t   +   12 V C = 240 cos ⁡ 6 t

Substituindo d V C d t por λ temos:

λ 2 + 8 λ + 12 = 0

Δ = 8 2 - ( 4 * 12 ) = 16

λ 1 = - 2   e   λ 2 = - 6  

V C λ = A e - 2 t + B e - 6 t

i λ = 1 6 - 2 A e - 2 t - 6 B e - 6 t

i λ = - A 3 e - 2 t - B e - 6 t

Passo 2

Agora, representando o circuito através de fasores:

i f = 20 ∠ 0 ° 4 + 2 j = 4 - 2 j = 2 5 ∠ - 26,6 °

i f = 2 5   c o s 6 t - 26,6 ° A

V C f = 20 ∠ 0 ° ( - j ) 4 + 2 j = - 2 - 4 j = 2 5 ∠ - 116,6 °

i t = - A 3 e - 2 t - B e - 6 t + 2 5   c o s 6 t - 26,6 °

Sabendo que:

i 0 = 2 = - A 3 - B + 2 5   c o s 26,6 °

- A 3 - B = 1 2

- A - 3 B = 3 2

V C t = A e - 2 t + B e - 6 t + 2 5   c o s 6 t - 116,6 °

Sabendo que:

V C 0 = 6 = A + B + 2 5   c o s - 116,6 °

A + B = - 3

Logo, temos:

A = - 3 - B

- A - 3 B = 3 2

- ( - 3 - B ) - 3 B = 3 2

B = 3 4

A = - 3 - 3 4

A = - 15 4

Resposta

i 0 = 2 4 + 2 5   c o s 26,6 °   A

V C 0 = - 3 + 2 5   c o s - 116,6 °   V