Determine a transformada de Fourier

f (t) = cos (2 pi t) [u (t) - u (t - 1)]

Passo 1

Bom, galera, para resolver essa questão, vamos usar a tabela de transformadas de Fourier! Como estamos lidando com o cosseno e a função degrau, vamos usar a seguinte:

F [e^(- a t) cos (omega_0 t) u (t)] = (a + j omega)/((a + j omega)^2 + omega_0^2)

Quando a = 0 , chegamos mais próximo da nossa situação real!

F [e^(- 0 t) cos (omega_0 t) u (t)] = F [ cos (omega_0 t) u (t) ] = (j omega)/(omega_0^2 - omega^2)

Passo 2

A transformada para cos (2 pi t) u ( t ) é dada por:

F [cos (2 pi t) u (t)] = (j omega)/(4 pi^2 - omega^2)

A transformada para cos (2 pi t) u ( t - 1 ) será um pouco diferente. Aqui temos um deslocamento no tempo no degrau unitário, o que vai fazer aparecer uma exponencial na nossa resposta. Assim, temos:

F [cos (2 pi t) u (t - 1)] = e^(- j omega) ((j omega)/(4 pi^2 - omega^2))

F [cos (2 pi t) u (t - 1)] = (j omega e^(- j omega))/(4 pi^2 - omega^2)

Assim, o resultado final é:

F (omega) = (j omega)/(4 pi^2 - omega^2) - (j omega e^(- j omega))/(4 pi^2 - omega^2)

Resposta

A transformada é igual a:

F (omega) = (j omega)/(4 pi^2 - omega^2) - (j omega e^(- j omega))/(4 pi^2 - omega^2)

Ver Outros Exercícios desse livro