Em um diodo a vácuo, os elétrons são emitidos por aquecimento de um catodo, em potencial zero, e acelerados por uma distância até o anodo, que é mantido em um potencial positivo V 0 . A nuvem de elétrons em movimento (chamada carga espacial) rapidamente se acumula ao ponto em que reduz o campo na superfície do catodo a zero. A partir daí, uma corrente estacionária I flui entre as placas.

Suponha que as placas sejam grandes se comparadas à separação ( A ≫ d 2 na Figura 2.55), de forma que os efeitos de bordas podem ser negligenciados. Então V , ρ e v (a velocidade dos elétrons) são todas funções somente de x.

a) Escreva a equação de Poisson para a região entre as placas.

b) Presumindo que os elétrons partem do repouso, qual é a sua velocidade no ponto x, onde o potencial é V ( x ) ?

c) No estado estacionário. I é independente de x . Qual é, nesse caso, a relação entre ρ e v ?

d) Use estes resultados para obter uma equação diferencial para V , eliminando ρ e v .

e) Resolva esta equação para V como função de x , V 0 e d . Faça um gráfico de V ( x ) e compare-o ao potencial sem carga espacial. Encontre também ρ e v como funções de x .

f) Mostre que

I = K V 0 3 2                 ,

E encontre a constante K . (A Equação 2.56 é chamada de lei de Child-Langmuir. Ela também vale para outras geometrias, sempre que a carga espacial limita a corrente. Observe que o diodo limitado pela carga espacial é não linear – ele não obedece à lei de Ohm.)

Passo 1

Faaala, pessoal! Bora matar essa questão (imensa por sinal hahaha).

a) Para o item a), foi pedido que escrevêssemos a equação de Poisson para a região entre as placas. Para isso, basta nos lembrarmos da equação de Poisson que é dada por:

∇ 2 V =   - ρ ϵ 0

Logo, a equação de Poisson para a região entre as placas, será dada pela igualdade entre o Laplaciano da função do potencial ( ∇ 2 V ) e a razão entre a densidade de carga ( ρ ) e a constante permissividade ( ϵ 0 ) :

d 2 V d x 2 = - 1 ϵ 0 ρ  

Passo 2

b) Na letra b), o enunciado nos pede para mostrar a velocidade dos elétrons no ponto x , onde o potencial é V ( x ) , partindo do repouso. Como teremos a transformação da energia potencial elétrica em energia cinética (movimento dos elétrons), poderemos igualar a energia potencial elétrica com a energia cinética:

q V = m v 2 2

E isolando a varável da velocidade v , teremos:

v = 2 q V m

Passo 3

c) No item c) é pedido a gente encontre a relação entre a densidade de carga ρ e a velocidade dos elétrons v no estado estacionário, sabendo que nessas condições I é independente de x . A carga q será dada pelo produto da densidade de carga pela área das placas:

q = ρ A

Como sabemos, a corrente é igual a variação da carga pelo tempo, logo:

I = d q d t

Logo, derivando a expressão da carga, teremos:

d q = ρ A d x

E aplicando esse resultado na expressão da corrente:

I = ρ A d x d t

Como sabemos que a velocidade é igual a variação da distância pelo tempo:

I = ρ A v

Passo 4

d) O item d), pede para que a gente obtenha uma equação diferencial para V , a partir dos resultados anteriores, eliminando ρ e v . Vamos utilizar o Laplaciano do potencial encontrado no item a) e substituir a densidade de carga ρ pela relação que encontramos no item c)

d 2 V d x 2 =   - 1 ϵ 0 I A v

Agora, podemos substituir o v pela expressão encontrada no item b):

d 2 V d x 2 =   - 1 ϵ 0 I A m 2 q V

Para simplificar a expressão, vamos chamar β = - I ϵ 0 A m 2 q   e com isso, teremos:

d 2 V d x 2 = β V - 1 2

Passo 5

e) O item e) nos pede para resolver essa equação diferencial para V como função de x , V 0 e d e ao final fazer um gráfico de V ( x ) comparando o ao potencial sem carga espacial. Inicialmente, podemos fazer:

V ' = d V d x

Logo:

V ' d V ' d x = β V - 1 2 d V d x

Integrando os dois lados, teremos:

∫ V ' d V ' = β ∫ V - 1 2   d V

Resolvendo as integrais, teremos:

1 2   V ' 2 = 2 β V 1 2 + C

Em que C é uma constante

Para V 0 = V ' 0 = 0   ( p o i s   o   c a t o d o   e s t á   s o b   p o t e n c i a l     e   c a m p o   z e r o s ) a constante C será 0, logo:

V ' 2 = 4 β V - 1 2

d V d x = 2 β V 1 4

V - 1 4 d V = 2 β d x

Agora, integrando essa expressão, teremos:

∫ V - 1 4   d V = 2 β ∫ d x

Resolvendo as integrais:

4 3   V 3 4 = 2 β x + D

E como vimos anteriormente que V 0 = 0 a constante D também será 0, logo:

4 3   V 3 4 = 2 β x

E rearrumando:

V x = 3 2 β 4 3 x 4 3               o u         V x = 9 4 β 2 3 x 4 3                

Substituindo o β pela expressão do item d):

V x = 81 I 2 m 32 ϵ 0 2 A 2 q 1 3 x 4 3          

Em termos de V 0 :

V x = V 0 x d 4 3

Sem a carga espacial expressão de V , será:

V x = V 0 x d

E como podemos ver, nesse caso o potencial cresce linearmente! O gráfico ficará da seguinte forma:

Temos do item a) que a expressão para a densidade de carga ρ tem a seguinte forma:

ρ =   - ϵ 0 d 2 V d x 2

Substituindo V pela expressão encontrada anteriormente:

ρ =   - ϵ 0 V 0 1 d 4 3 4 3   . 1 3 x - 2 3

Portanto:

ρ =   - 4 ϵ 0 V 0 9 d 2 x 2 3

Para a expressão de v   em função de x vamos utilizar a a expressão encontrada no item b):

v = 2 q V m

Substituindo V :

v = 2 q V 0 m x d 2 3

Passo 6

f) Por fim para o item f) o enunciado nos pede para encontrar a constante K da equação:

I = K V 0 3 2           ( 1 )

Para isso, vamos manipular a expressão de V encontrada no item e) para obtermos uma expressão para I :

V d = V 0 = 81 I 2 m 32 ϵ 0 2 A 2 q 1 3 d 4 3         →       I 2 = 32 ϵ 0 2 A 2 q 81 m d 4 V 0 3

Aplicando a raiz na equação da corrente I , teremos:

I = 4 2 ϵ 0 A q 9 m d 2 V 0 3 2

Igualando à equação (1):

I = 4 2 ϵ 0 A q 9 m d 2 V 0 3 2 = K V 0 3 2

Portanto:

K = 4 ϵ 0 A 9 d 2 d q m

E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima 😊

Resposta

a)

d 2 V d x 2 = - 1 ϵ 0 ρ  

b)

v = 2 q V m

c)

I = ρ A v

d)

d 2 V d x 2 =   - 1 ϵ 0 I A m 2 q V

e)

V x = V 0 x d 4 3

ρ =   - 4 ϵ 0 V 0 9 d 2 x 2 3

v = 2 q V 0 m x d 2 3

f)

K = 4 ϵ 0 A 9 d 2 d q m