Uma esfera de raio R tem uma polarização

P r = k r ,

onde k é uma constante e r é o vetor a partir do centro.

(a) Calcule as cargas de polarização σ p   e   ρ p .

(b) Encontre o campo dentro e fora da esfera.

Passo 1

Faaaala meu povo!! Como vocês estão? Bora lá resolver mais uma questãozinha?

Para esse probleminha aqui, utilizaremos os conceitos de cargas de polarização.

No caso de σ p ,   podemos simplesmente aplicar na fórmula do potencial de uma carga superficial e substituir a expressão dada no enunciado, já que n ^ é o vetor unitário normal:

σ p = P * n ^

σ p = k R

Já o valor de ρ p pode ser obtido diretamente pela fórmula do potencial de uma carga volumétrica:

ρ p = - ∇ * P

ρ p = - 1 r 3 ∂ ∂ r r 2 k r = - 1 r 2 3 k r 2 = - 3 k

Passo 2

Para calcularmos o campo dentro e fora da esfera, devemos adotar respectivamente:

r < R   e   r > R .

Sendo assim, quando r < R , e como a esfera é uniformemente carregada, temos que o campo é dado por:

∮ E . d a = E * 4 π r 2 = 1 ϵ o Q = 1 ϵ 0 4 3 π r 3 ρ     →       E = 1 3 ϵ 0 ρ r r ^

Sendo assim, substituindo a expressão dada no enunciado, na fórmula do campo acima, temos:

E = - k ϵ 0 r

No caso de r < R , temos que é o mesmo se todas as cargas estiverem no centro, mas

Q = k R 4 π R 2 + - 3 k 4 3 π R 3 = 0

Portanto, E também deverá ser 0.

Prontinho meu povo! Para essa questão era isso. Bora lá resolver mais uma juntos?

Resposta

a. σ p = P * n ^ e ρ p = - 3 k

b. E d e n t r o = - k ϵ 0 r , E f o r a = 0