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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 10

A figura do Ex. 6.2 . 2 e as figuras (a) e (b) mostradas aqui sāo exemplos de um gráfico de rede escada. Existe um teorema que estabelece que o número de árvores num gráfico de escada de n ramos é o número de Fibonacci a n , definido por a 0 = a 1 = 1 , a 2 = a 0 + a 1 = 2 , a 3 = a 1 + a 2 = 3 , a 4 = a 2 + a 3 = 5 etc. Isto é, exceto a 0 e a 1 , cada número de Fibonacci é obtido da soma dos dois anteriores. Demonstre que o teorema se verifica para os gráficos de escada mostrados e também para o gráfico da figura do Ex. 6.2.2.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha? O exercício pede que a gente demonstre que o teorema se verifica para os gráficos de escada mostrados e também para o gráfico da figura do Ex. 6.2.2.

Deixe x f i satisfazer

d 2 x f i d t 2 + a 1 d x f i d t + a 0     x f i = f i t                    para             1 ≤ i ≤ m .

b i d 2 x f i d t 2 + a - 1 d x f i d t + a 0 x f i = b i f i t                para  1 ≤ i ≤ m

d 2 b i x f i d t 2 + a 1 d b i x f i d t + a 0 b i x f i = b i f i ( t )

somando as m equações e agrupando por ordens de derivadas

d 2 b 1 x f 1 d t 2 + ⋯ + d 2 b m x f m d t 2 + a 1 d b 1 x f 1 d t + ⋯ + d b m x f m d t

+ a 0 b 1 x f 1 + ⋯ + b m x f m = b 1 f 1 ( t ) + … + b m f m ( t )

Ou d 2 b 1 x f 1 + ⋯ + b m x f m d t 2 + a 1 d b 1 x f 1 + ⋯ + b m x f m d t + a 0 b 1 x f 1 + ⋯ + b m x f m

= b 1 f 1 ( t ) + ⋯ + b m f m ( t ) = f ( t )

A equação forçada é b 1 x f 1 + … + b m x f m

Resposta

b 1 x f 1 + … + b m x f m