Mostra que, se f (t + T) = f (t) , então

L [f (t)] = (int_0^T e^(- s t) f (t) d t)/(1 - e^(- s T))

a) f (t) = 1 , 0 < t < 1

= 0 , 1 < t < 2

f (t + 2) = f ( t )

b) f (t) = | sin t |

Passo 1

Fala aí pessoal tudo blz?

Sabe-se que se, f (t + T) = f (t) , temos

L [f (t)] = (int_0^T e^(- s t) f (t) d t)/(1 - e^(- s T))

Devemos escrever a transformada como uma série infinita de integrais em (0 , t) , (t , 2 t) ...

Dado:

a) f (t) = 1 , 0 < t < 1

= 0 , 1 < t < 2

f (t + 2) = f ( t )

b) f (t) = | sin t |

Só vem meu camarada, confia.

Passo 2

Na letra (a) sabendo que,

f (t) = 1 , 0 < t < 1

= 0 , 1 < t < 2

f (t + 2) = f ( t ) , temos

f (x) = (a_0)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) [ a_n cos (n pi x)/(L) + b_n sin (n pi x)/(L) ]

a_n = (1)/(L) int_(- L)^L f (x) cos (n pi x)/(L) d x

b_n = (1)/(L) int_(- L)^L f (x) sin (n pi x)/(L) d x

a_0 = (1)/(L) int_(- L)^L f (x) d x

a_0 = 1 int_0^1 1 d x + (1)/(2) int_1^2 0 = 1

a_n = (1)/(2) sin pi

b_n = (1)/(2) cos pi

f (x) = (1)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) [(1)/(2) cos n pi + (1)/(2) sin n pi]

Passo 3

Na letra (b), sabendo

f (t) = |sin t| , temos

f (x) = (1)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) [sin t cos n pi + sin t sin n pi]

Espero ter ajudado, bons estudos e até a próxima.

Resposta

a) f (x) = (1)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) [(1)/(2) cos n pi + (1)/(2) sin n pi]

b) f (x) = (1)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) [sin t cos n pi + sin t sin n pi]