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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 20

Mostra que, se f t + T = f t , então

L f t = ∫ 0 T e - s t f t d t 1 - e - s T

a) f t = 1 ,     0 < t < 1

= 0 ,   1 < t < 2

f t + 2 = f ( t )

b) f t = | sin ⁡ t |

Passo 1

Fala aí pessoal tudo blz?

Sabe-se que se, f t + T = f t , temos

L f t = ∫ 0 T e - s t f t d t 1 - e - s T

Devemos escrever a transformada como uma série infinita de integrais em 0 , t , t , 2 t …

Dado:

a) f t = 1 ,     0 < t < 1

= 0 ,   1 < t < 2

f t + 2 = f ( t )

b) f t = | sin ⁡ t |

Só vem meu camarada, confia.

Passo 2

Na letra (a) sabendo que,

f t = 1 ,     0 < t < 1

= 0 ,   1 < t < 2

f t + 2 = f ( t ) , temos

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ⁡ n π x L + b n sin ⁡ n π x L ]      

a n = 1 L   ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x  

b n = 1 L   ∫ - L L f x sin ⁡ n π x L d x  

a 0 = 1 L   ∫ - L L f x d x

a 0 = 1 ∫ 0 1 1 d x + 1 2 ∫ 1 2 0 = 1

a n = 1 2 sin ⁡ π  

b n = 1 2 cos ⁡ π  

f x = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 2 cos ⁡ n π + 1 2 sin ⁡ n π

Passo 3

Na letra (b), sabendo

f t = sin ⁡ t , temos

f x = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ sin ⁡ t cos ⁡ n π + sin ⁡ t sin ⁡ n π

Espero ter ajudado, bons estudos e até a próxima.

Resposta

a) f x = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 2 cos ⁡ n π + 1 2 sin ⁡ n π

b) f x = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ sin ⁡ t cos ⁡ n π + sin ⁡ t sin ⁡ n π