Enunciado
Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 12
Mostre que a operação de convolução é comutativa, isto é,
[Sugestão: Faça uma mudança de variáveis, , em (18.23)]
Passo 1
Como se trata de uma demonstração, temos que usar o lado esquerdo da equação dada e o que conhecemos sobre o assunto a fim de chegarmos no lado direito da equação.
Pois bem, vamos começar nossa demonstração usando a citada equação 18.23. Ela diz o seguinte:
A sugestão é que usemos a mudança de variáveis . Então, devemos perceber algumas coisas importantes. Nessa mudança, as variáveis são e x. “t” é uma constante. Isso pode ser percebido porque “t” aparece apenas no limite de integração.
Outra coisa importante é que além de relacionar as variáveis e os diferencias, como é de costume, agora temos uma integral definida. Isto significa que vamos precisar alterar os limites de integração.
Passo 2
Começamos com a mudança de variáveis e sua diferenciação:
Para conhecermos os limites de integração, temos que saber que a nova variável, x, se relaciona com a anterior, , da seguinte maneira: . Assim:
Limite Superior:
Limite Inferior:
Passo 3
De posse de todos os valores, podemos desenvolver a equação 18.23:
Como a integral acima se trata de uma integral ordinária, os integrandos podem ser trocados sem afetar o resultado final. Além disso, quando invertemos os limites de integração, multiplicamos a integral por – 1, ou seja, invertemos o seu sinal. Com isso:
Esta última integral aparece com a letra “g” primeiro que a letra “f”. Isto significa que a convolução que ela representa é a da primeira variável, no caso, g, com a segunda, no caso, f. Portanto,
Como queríamos demonstrar.
Resposta
A demonstração.