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Enunciado

Elétrica - Eletrodinâmica - David J. Griffiths- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 45

  1. Mostre que o termo quadrupolar na expansão multipolar pode ser escrito

    2. V q u a d r = 1 4 π ϵ 0 1 2 r 3 ∑ i , j = 1 3 r ^ i r ^ j Q i j

    (Na notação da Equação 1.31), onde

    Q i j ≡ ∫ 3 r i ' r j ' - r ' 2 δ i j ρ r ' d τ '

    Aqui

    δ i j = 1   s e   i = j 0   s e   i ≠ j

    É o delta de Kronecker, e Q i j   é o momento de quadrupolo da distribuição de carga. Observe a hierarquia:

    V m o n = 1 4 π ϵ 0 Q r ;       V d i p = 1 4 π ϵ 0   ∑ r ^ i p i r 2   ;       V q u a d = 1 4 π ϵ 0   1 2 ∑ r ^ i r ^ j Q i j r 3 ;     …

    O momento de monopolo Q é um escalar, o momento de dipolo p é um vetor, o momento de dipolo Q i j é um tensor de segunda ordem, e assim sucessivamente.

  2. Encontre todos os nove componentes de Q i j para a configuração da Figura 3.30 (assuma que o quadrado tem lado a e está no plano xy. Centrado na origem).
  3. Mostre que o momento de quadrupolo é independente da origem se os momentos de monopolo e de dipolo se anularem. (Isso funciona para toda a hierarquia - o momento multipolar mais baixo não nulo é sempre independente da origem.)
  4. Como você definiria o momento de octopolo? Expresse o termo octopolar da expansão multipolar em termos do momento de octopolo.

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Podemos começar partindo do termo da expansão, assim:

1 2 ∑ i , j = 1 3 r ^ i r ^ j Q i j = 1 2 ∫ 3 ∑ i = 1 3 r ^ i r i ' ∑ j = 1 3 r ^ j r j ' - r ' 2 ∑ i , j r ^ i r ^ j δ i j ρ d τ '

Porém como:

∑ i = 1 3 r ^ i r i ' = r ^ . r ' = r ' c o s θ ' = ∑ j = 1 3 r ^ j r j '

∑ i , j r ^ i r ^ j δ i j = ∑ r ^ j r ^ j = r ^ . r ^ = 1

Temos por fim que:

V q u a d = 1 4 π ϵ 0 1 r 3 ∫ 1 2 r ' 2 cos 2 ⁡ θ ' - r ' 2 ρ d τ '

V q u a d = 1 4 π ϵ 0 1 r 3 ∫ r ' 2 P 2 cos ⁡ θ ' ρ d τ '

Passo 2

Agora para letra B, temos devido a x 2 = y 2 = a 2 2 para todas as cargas , temos que:

Q x x = Q y y = 3 a 2 2 - 2 a 2 2 q - q - q + q = 0

E pelo motivo de z=0 para todas as cargas, temos que:

Q z z = - 2 a 2 2 q - q - q + q = 0

E como Q x z = Q y z = Q z x = Q z y = 0 , e com isso podemos escrever:

Q x y = Q y x = 3 a 2 a 2 q + a 2 - a 2 - q + - a 2 a 2 - q + - a 2 - a 2 q = [ 3 a 2 q ]

Passo 3

Na letra C podemos partir de:

Q - i j = ∫ 3 r i - d i r j - d j - r - d 2 δ i j ρ d τ

Abrindo os parênteses, temos que:

Q - i j = ∫ 3 r i r j - r 2 δ i j ρ d τ - 3 d i ∫ r j ρ d τ - 3 d j ∫ r i ρ d τ +

                                                                                                                                      + 3 d i d j ∫ ρ d τ + 2 d ∙ ∫ r ρ d τ δ i j - d 2 δ i j ρ d τ

Agora para finalizar, vamos integrar:

Q - i j = Q i j - 3 d i p j + d j p i + 3 d i d j Q + 2 δ i j d ∙ p - d 2 δ i j Q

E assim se tivermos p = 0   e   Q = 0 chegamos em Q - i j = Q i j .

Passo 4

Na letra D podemos partir Da equação 3.95, com n=3, assim temos:

V o c t = 1 4 π ϵ 0 1 r 4 ∫ r ' 3 P 3 cos ⁡ θ ' ρ d τ ' ; P 3 cos ⁡ θ = 1 2 ( 5 cos 3 ⁡ θ - 3 cos ⁡ θ )

E com isso temos que:

V o c t = 1 4 π ϵ 0 ∑ i , j , k r ^ i r ^ j r ^ k Q i j k r 4

E podemos definir o momento de octopolo, como:

Q i j k ≡ ∫ 5 r i ' r j ' r k ' - r ' 2 r i ' δ j k + r j ' δ i k + r k ' δ i j ρ r ' d τ '

Assim finalizamos mais uma! Até a próxima!!

Resposta

  1. V q u a d = 1 4 π ϵ 0 1 r 3 ∫ r ' 2 P 2 cos ⁡ θ ' ρ d τ '
  2. [ 3 a 2 q ]
  3. Deduzido no passo 3
  4. Q i j k ≡ ∫ 5 r i ' r j ' r k ' - r ' 2 r i ' δ j k + r j ' δ i k + r k ' δ i j ρ r ' d τ '