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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.5 - Ex. 5

Mostre que a transformada I ( s ) para o circuito dado e determine i ( t ) , para t > 0 , se C = 1 / 4 F , v g ( t ) = 6 V , i ( 0 ) = 1 A e v c ( 0 ) = 2 V .

Passo 1

Iae, meus queridos! Td certinho??

A questão nos disse que:

I s = V g s + I 0 - v c ( 0 ) / s s + 4 + 1 / C s

Vamos transformar v g t para V g s e substituir os valores que temos em I s .

Se v g t = 6 V , V g s = 6 s

I s = 6 / s + 1 - 2 / s s + 4 + 1 / 1 4 s

I s = 6 / s + 1 - 2 / s s + 4 + 4 / s

I s = 6 + 1 s - 2 s s 2 + 4 s + 4 s

I s = 4 + 1 s s 2 + 4 s + 4

I s = 4 + 1 s ( s + 2 ) ²

I s = 4 ( s + 2 ) ² + s ( s + 2 ) ²

Passo 2

Podemos aplicar a propriedade de linearidade de Laplace e aplicar a transformada inversa em casa uma das parciais.

I   L - 1 I s = L - 1 4 ( s + 2 ) ² + L - 1 s ( s + 2 ) ²

Vamos analisar separadamente.

L - 1 4 ( s + 2 ) ² = L - 1 4 · 1 ( s + 2 ) ²

Essa parcial é muito parecida com a transformada de t e - a t , onde:

L - 1 t e - a t = 1 s + a 2

Logo...

L - 1 4 · 1 ( s + 2 ) ² = 4 t e - 2 t

Passo 3

Analisando a segunda parcial de I ( s ) .

s ( s + 2 ) ² = K 1 s + 2 2 + K 2 s + 2

Aplicando o método de Heaviside.

K 1 = s s + 2 2 s + 2 2 ​ s = - 2  

K 1 = - 2 .

K 2 s + 2 = s s + 2 2 - - 2 s + 2 2 ​ s = 1

K 2 s + 2 = s s + 2 2 + 2 s + 2 2 ​ s = 1

K 2 1 + 2 = 1 ( 1 + 2 ) ² + 2 1 + 2 2

K 2 3 = 1 9 + 2 9

K 2 3 = 1 9 + 2 9

K 2 = 1

Dessa forma temos...

I I   L - 1 s ( s + 2 ) ² = L - 1 - 2 s + 2 2 + L - 1 1 s + 2

A parcial - 2 s + 2 2 se parece muito com a transformada de t e - a t , onde:

  L - 1 t e - a t = 1 s + a 2

Logo...

  L - 1 - 2 s + 2 2 = - 2 t e - 2 t

A parcial 1 s + 2 se parece muito com a transformada de e - a t , onde:

L - 1 e - a t = 1 s + a

Logo...

L - 1 1 s + 2 = e - 2 t

Juntando I   e   I I   em L - 1 I s , temos.

L - 1 I s = L - 1 4 ( s + 2 ) ² + L - 1 s ( s + 2 ) ²

L - 1 I s = 4 t e - 2 t + - 2 t e - 2 t + e - 2 t

L - 1 I s = i ( t ) = 2 t e - 2 t + e - 2 t

Tranquilo, né? Bora pra mais uma.

Resposta

L - 1 I s = i ( t ) = 2 t e - 2 t + e - 2 t