Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 36a

Obtenha as transformadas de Laplace das funções a seguir:

X s = 3 s 2 s + 2 s + 3

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

3 s 2 s + 2 s + 3  

Podemos usar frações parciais para desmembrar essa fração aí em três frações (lembre-se) disso...

A s + B s 2 + C s + 2 + D s + 3  

E duas que a gente consegue encontrar a Laplace inversa! Bora encontrar quem são A e B primeiro?

Passo 2

Então, colocando as três frações em uma só, colocando o mesmo denominador em todas elas...

A s + B s 2 + C s + 2 + D s + 3 =

A s s + 2 s + 3 + B s + 2 s + 3 + C s 2 s + 2 + D s 2 s + 2 s 2 s + 2 s + 3  

Igualando e cancelando o denominador...

3 s 2 s + 2 s + 3 = A s s + 2 s + 3 + B s + 2 s + 3 + C s 2 s + 2 + D s 2 s + 2 s 2 s + 2 s + 3     →

A s s + 2 s + 3 + B s + 2 s + 3 + C s 2 s + 2 + D s 2 s + 2 = 3

Resolvendo esses produtos aí...

A s s 2 + 5 s + 6 + B s 2 + 5 s + 6 + C s 3 + 2 C s 2 + D s 3 + 2 D s 2 = 3   →

Simplificando...

A s 3 + 5 A s 2 + 6 A s + B s 2 + 5 B s + 6 B + C s 3 + 2 C s 2 + D s 3 + 2 D s 2 = 3   →

Então organizando por s 3 , s 2 ,   s e constante...

A + B + C + D s 3 + 5 A + B + 2 C + 2 D s 2 + 6 A + 5 B s + 6 B = 3   →

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios visto que se não tem s 3 do lado esquerdo...

A + B + C + D = 0

5 A + B + 2 C + 2 D = 0

6 A + 5 B = 0  

6 B = 3

Então...

B = 1 2

6 A + 5 2 = 0     →             A = - 5 12

- 25 12 + 1 2 + 2 C + 2 D = 0         →           2 C + 2 D = 19 12

- 5 12 + 1 2 + C + D = 0         →             C + D = - 1 12         →           C = - 1 12 - D

Da terceira equação ali...

- 2 12 + 2 D = 19 12         →           D = 21 24

C = - 1 12 - 21 24 = - 23 24

Ou seja, por frações parciais concluímos que...

3 s 2 s + 2 s + 3 = - 5 19 ⋅ 1 s + 1 2 ⋅ 1 s 2 - 23 24 ⋅ 1 s + 2 + 21 24 ⋅ 1 s + 3

Passo 3

Aplicando finalmente a transformada de Laplace inversa...

L - 1 X s = - 5 19 L - 1 1 s + 1 2 L - 1 1 s 2 - 23 24 L - 1 1 s + 2 + 21 24 L - 1 1 s + 3

Ou seja, no nosso caso...

L - 1 X s = - 5 19 L - 1 1 s + 1 2 L - 1 1 s 2 - 23 24 L - 1 1 s + 2 + 21 24 L - 1 1 s + 3   →

L - 1 X s = - 5 19 + 1 2 t - 23 24 e - 2 t + 21 24 e - 3 t

Resposta

L - 1 X s = - 5 19 + 1 2 t - 23 24 e - 2 t + 21 24 e - 3 t

Ver Outros Exercícios desse livro