Obtenha f (t) para as transformadas a seguir:

((s + 3) e^(- 6 s))/((s + 1) (s + 2))

Passo 1

Bem, se considerarmos...

((s + 3) e^(- 6 s))/((s + 1) (s + 2)) = e^(- 6 s) [((s + 3))/((s + 1) (s + 2))]

Perceba que podemos separar o termo do colchete em frações parciais:

(A)/(s + 1) + (B)/(s + 2)

Vamos nessa?

Passo 2

(A)/(s + 1) + (B)/(s + 2) = (A (s + 2) + B (s + 1))/((s + 1) (s + 2))

Igualando a fração dos colchetes...

(A (s + 2) + B (s + 1))/((s + 1) (s + 2)) = ((s + 3))/((s + 1) (s + 2))

Cancelando o denominador e simplificando...

A (s + 2) + B (s + 1) = s + 3 ->

A s + 2 A + B s + B = s + 3 ->

(A + B) s + (2 A + B) = s + 3 ->

Então...

A + B = 1

2 A + B = 3

Onde tiramos que...

A = 1 - B -> 2 - 2 B + B = 3 ->

B = - 1 e A = 1 + 1 = 2

Onde podemos concluir que

((s + 3) e^(- 6 s))/((s + 1) (s + 2)) = e^(- 6 s) [((s + 3))/((s + 1) (s + 2))]

e^(- 6 s) [2 (1)/(s + 1) - (1)/(s + 2)]

Passo 3

De acordo com a teoria...

L^(- 1) {e^(- c s) F (s)} = f (t - c) u_c (t)

Se considerarmos...

F (s) = [2 (1)/(s + 1) - (1)/(s + 2)] ->

f (t) = 2 e^(- t) - e^(- 2 t)

Considerando então c = 6 ...

L^(- 1) {e^(- 6 s) F (s)} = [2 e^(- (t - 6)) - e^(- 2 (t - 6))] u_6 (t)

Resposta

[2 e^(- (t - 6)) - e^(- 2 (t - 6))] u_6 (t)

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