Enunciado

Se f ( t ) no Prob. 1.3 e a corrente em ampères que entra em um elemento e   t é dado em segundos, calcule a carga que entrou no elemento no intervalo entre 4 e 9   s , e a corrente nos instantes 6,5   e   8   s .

Passo 1

Falaaaa, galeraaaa!

Para 0 ≤ t ≤ 4 s , temos:

Primeiramente obtendo a inclinação da reta, temos:

m = y - y 0 x - x 0             ( I )

m = 6 - 0 4 - 0 = 3 2

Logo,

i = 3 2 t

Derivando a expressão para obter a carga temos:

q = 3 2 ∫ 0 4 t   d t = 3 2 ∙ t 2 2 = 3 2 ∙ 4 2 2 = 12  

Passo 2

Para 4 ≤ t ≤ 6   s , temos:

i = 6   A

q = ∫ 4 6 6   d t = 6 t 4 6 = 6 6 - 6 4 = 12   C

Passo 3

Para 4 ≤ t ≤ 6   s , temos:

Da expressão ( I ) :

m = y - y 0 x - x 0 = 8 - 6 7 - 6 = 2

y - y 0 = m x - x 0             ( I I )

Substituindo em ( I I ) , temos:

i - 6 = 2 ( t - 6 )

i = 2 t - 6   A             ( I I I )

Calculando a carga, integrando ( I I ) :

q = ∫ 6 7 2 t - 6 d t = 2 t 2 2 6 7 - 6 t 6 7 = 13 - 6

q = 7   C

Passo 4

Para 7 ≤ t ≤ 9   s ≤ , temos:

Para a inclinação da reta nesse período, temos a partir da equação ( I ) :

m = y - y 0 x - x 0 = 2 - 8 9 - 7 = - 6 2 = - 3

Essa reta corta o eixo y   em:

Note que a reta passa pelo ponto P ( 9,2 ) , então podemos usá-lo para saber onde a reta corta o eixo y .

y = a x + b

2 = - 3 9 + b

b = 2 + 27 = 29

Logo, a equação da carga é dada por:

i = - 3 t + 29

Integrando, temos:

∫ 7 9 - 3 t + 29 d t = ∫ 7 9 - 3 t   d t + ∫ 7 9 29   d t

q = - 3 t 2 2 7 9 + 29 t 7 9 = - 3 2 9 2 - 7 2 + 29 ( 9 - 7 )

q = 10   C

Passo 5

Calculando a carga, temos:

q T O T A L = q 9 - q ( 4 )

q T O T A L = 10 - 12

q T O T A L = - 2   C

No instante t = 6,5 :

i 6,5 = 2 6,5 - 6

i = 7   A

No instante t = 8   s :

i 8 = - 3 8 + 29

i 8 = 5   A

Prontinho!

Resposta

Carga: q T O T A L = - 2   C

No instante t = 6,5 s: i = 7   A

No instante t = 8   s : i 8 = 5   A