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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 15

Resolva para y ( t ) , t > 0

y t = cos ⁡ t + ∫ 0 t e - t - τ y ( τ ) d τ

Passo 1

C’mon, baby! Yes! Thank You!

Ok, Ok! Eu sei que não sou o sósia do Keanu Reeves, mas vamos lá.

O que vamos fazer aqui é jogar essa equação para o domínio do tempo, aproveitando o fato de que a integral apresentada é uma integral de convolução de 2 funções e que no domínio da frequência essa integral se transformará no produto das duas funções. Se não ficou claro essa breve introdução, vamos apresentar um breve formulário de integral de convolução para transformarmos essa equação diferencial numa simples equação ordinária:

f t * g t = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ

e

L f t * g t = F s ⋅ G ( s )

Então, a integral dada é a convolução de e - t e y ( t ) :

∫ 0 t e - t - τ y ( τ ) d τ = ∫ 0 t y τ e - ( t - τ ) d τ = y t * e - t

Passo 2

Assim, a equação no domínio da frequência, será:

Y s = s s 2 + 1 2 + Y s ⋅ 1 s + 1 ⇒ 1 - 1 s + 1 Y s = s s 2 + 1

⇒ s + 1 - 1 s + 1 Y s = s s 2 + 1 ⇒ s s + 1 Y s = s s 2 + 1

⇒ Y s = s + 1 s 2 + 1 = s s 2 + 1 + 1 s 2 + 1

Passo 3

Por fim, nossa tarefa será “voltar” para o domínio do tempo dessa expressão “mamão com açúcar”.

y t = cos ⁡ t + sin ⁡ t u ( t )

Resposta

y t = cos ⁡ t + sin ⁡ t u ( t )