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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 23

Se a transformada de Fourier de f ( t ) é F ω = 10 ( 2 + j ω ) ( 5 + j ω ) , determine as transformadas a seguir:

  1. f ( - 3 t )
  2. f ( 2 t - 1 )
  3. f t cos ⁡ 2 t
  4. d d t f ( t )
  5. ∫ - ∞ t f t d t

Passo 1

Pessoal, usando a propriedade de escala, a transformada de Fourier de f ( - 3 t ) pode ser obtida por:

F ω = 1 a ⋅ 10 2 + j ω a 5 + j ω a

Substituindo o valor de a :

F ω = 1 - 3 ⋅ 10 2 + j ω - 3 5 + j ω - 3

F ω = 1 3 ⋅ 10 - 6 + j ω 3 - 15 + j ω 3

F ω = 1 3 ⋅ 9 × 10 6 - j ω 15 - j ω

Simplificando os valores:

F ω = 30 6 - j ω 15 - j ω

Passo 2

Vamos pra letra (b). Aqui temos além da propriedade de escala, também temos a propriedade de deslocamento no tempo. Assim, a transformada de Fourier para f ( 2 t - 1 ) é dada por:

F ω = F f 2 t - 1

F ω = 1 2 × 10 e - j 0,5 ω 2 + j 0,5 ω 5 + j 0,5 ω

Fazendo as devidas simplificações:

F ω = 20 e - j 0,5 ω ( 4 + j ω ) ( 10 + j ω )

Passo 3

Agora na letra (c), temos a propriedade da modulação aqui! Portanto, a transformada de Fourier para f t cos ⁡ 2 t pode ser obtida por:

F ω = 1 | a | [ F ω + ω 0 + F ω - ω 0 ]

Substituindo os valores, temos:

F ω = 1 2 10 2 + j ω + 2 5 + j ω + 2 + 10 2 + j ω - 2 5 + j ω - 2

F ( ω ) = 5 2 + j ω + 2 5 + j ω + 2 + 5 2 + j ω - 2 5 + j ω - 2

Passo 4

Na letra (d), temos a propriedade da diferenciação para aplicar na f ( t ) . Assim, a transformada de Fourier pode ser obtida através de:

F ω = j ω F ω

Substituindo o valor de F ( ω ) :

F ω = j ω 10 ( 2 + j ω ) ( 5 + j ω )

Passo 5

Por fim, vamos para a letra (e). Usando a propriedade da integração, a transformada de Fourier de ∫ - ∞ ∞ f ( t ) d t pode ser obtida por:

F ω = F ω j ω + π F 0 δ ω

F ω = 10 j ω 2 + j ω 5 + j ω + π 10 2 × 5 δ ω

F ω = 10 j ω 2 + j ω 5 + j ω + π δ ω

Resposta

  1. F ω = 30 6 - j ω 15 - j ω
  2. F ω = 20 e - j 0,5 ω 4 + j ω 10 + j ω
  3. F ω = 5 2 + j ω + 2 5 + j ω + 2 + 5 2 + j ω - 2 5 + j ω - 2
  4. F ω = j ω 10 ( 2 + j ω ) ( 5 + j ω )
  5. F ω = 10 j ω 2 + j ω 5 + j ω + π δ ω
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