Enunciado

Usando as transformadas de Laplace, resolva o seguinte, para t > 0 .

a )   x ' ' + x = 0 ,     x 0 = - 1 ,   x ' 0 = 1

Passo 1

Simbora resolver essas equações diferenciais que com a ajuda da transformada se tornam mais simples que conta de padaria.

Para começarmos, além das transformadas usuais, vamos usar bastante a transformada da derivada. No presente caso, vamos precisar apenas da transformada da derivada segunda:

L x ' ' = s 2 X s - s ⋅ x 0 - x ' ( 0 )

Assim, a equação diferencial pode ser reduzida a uma equação algébrica da seguinte maneira:

s 2 X s - s ⋅ x 0 - x ' 0 + X s = 0

⇒ s 2 + 1 X s - - 1 ⋅ s - 1 = 0 ⇒ s 2 + 1 X s = 1 - s

⇒ X s = 1 - s s 2 + 1 = 1 s 2 + 1 - s s 2 + 1

Passo 2

Agora, o que vamos fazer é voltar para o domínio do tempo usando a transformada inversa:

x t = [ sin ⁡ t - cos ⁡ t ] u ( t )

Vamos que vamos porque esta equação é só pra “aquecer”. As próximas serão mais trabalhosas.

Resposta

x t = [ sin ⁡ t - cos ⁡ t ] u ( t )