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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 23b

Usando as transformadas de Laplace, resolva o seguinte, para t > 0 .

b )   x ' ' + x ' + 2 x = 0 ,     x 0 = 0 ,   x ' 0 = 1

Passo 1

E aí, qual vai ser?

Agora tu vai ter que escolher

Ou eu ou a transformada

Se decide, bebê...

Então, bora começar essa questãozinha com a transformação de uma equação diferencial para uma equação algébrica. O que vamos precisar é da transformada da derivada. No nosso caso, vamos precisar das derivadas primeira e segunda:

L x ' = s X s - x ( 0 )

e

L x ' ' = s 2 X s - s ⋅ x 0 - x ' 0

Assim, nossa equação diferencial é transformada em algébrica da seguinte maneira:

s 2 X s - s ⋅ x 0 - x ' 0 + s X s - x 0 + 2 X s = 0

Passo 2

O próximo passo é resolver essa equação. Vamos agrupar os termos que tem X ( s ) dos que não tem:

s 2 + s + 2 X s - 0 ⋅ s - 1 - 0 = 0

⇒ s 2 + s + 2 X s = 1  

⇒ X s = 1 s 2 + 2 s + 2

O que falta fazer é “arrumar” o denominador para que ele fique com uma cara mais amigável. Vamos fazer isso completando o quadrado:

X s = 1 s 2 + 2 s + 2 = 1 s 2 + 2 s + 1 + 1 = 1 s + 1 2 + 1

Passo 3

Agora vamos voltar ao domínio do tempo, visto que X ( s ) já tem um formato de seno amortecido (seno com exponencial):

x t = [ e t ⋅ sin ⁡ t ] u ( t )

E assim, finalizamos mais uma. Bora pra próxima.

Resposta

x t = [ e t ⋅ sin ⁡ t ] u ( t )