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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 23c

Usando as transformadas de Laplace, resolva o seguinte, para t > 0 .

c )   x ' ' ' - 2 x ' ' + 2 x ' = 0 ,     x 0 = x ' 0 = 1 ,     x ' ' 0 = 2

Passo 1

E aí, galerinha do bem? Bora resolver essa equação diferencial de 3ª ordem. As transformadas das derivadas que vamos precisar serão:

L x ' = s X s - x 0

L x ' ' = s 2 X s - s ⋅ x 0 - x ' 0

e

L x ' ' ' = s 3 X s - s 2 ⋅ x 0 - s ⋅ x ' 0 - x ' ' 0

Assim, a equação transformada será:

s 3 X s - s 2 x 0 - s ⋅ x ' 0 - x ' ' 0 - 2 s 2 X s - s ⋅ x 0 - x ' 0 + 2 s X s - x 0 = 0

⇒ s 3 X s - s 2 - s - 2 - 2 s 2 X s + 2 s + 2 + 2 s X s - 2 = 0

⇒ s 3 - 2 s 2 + 2 s X s = s 2 - s + 2

⇒ X s = s 2 - s + 2 s 3 - 2 s 2 + 2 s  

Passo 2

Agora que chegamos nessa expressão, vamos separar o denominador para ver o que podemos fazer. Podemos perceber que podemos colocar o “ s ” em evidência:

X s = s 2 - s + 2 s 3 - 2 s 2 + 2 s   = s 2 - s + 2 s ( s 2 - 2 s + 2 )

Além disso, podemos fazer com que o numerador fique igual ao segundo termo do denominador. Para isso, vamos somar e subtrair s no numerador:

X s = s 2 - s + 2 s ( s 2 - 2 s + 2 ) = s 2 - s + 2 + ( s - s ) s ( s 2 - 2 s + 2 ) = s 2 - 2 s + 2 + s s ( s 2 - 2 s + 2 )

Agora, vamos separar a fração em duas:

s 2 - 2 s + 2 + s s ( s 2 - 2 s + 2 ) = s 2 - 2 s + 2 s ( s 2 - 2 s + 2 ) + s s s 2 - 2 s + 2

⇒ X s = 1 s + 1 s 2 - 2 s + 1 + 1 = 1 s + 1 s - 1 2 + 1

Passo 3

Finalmente, podemos voltar ao domínio do tempo visto que a nossa expressão no domínio da frequência possui transformadas que são tabeladas:

x t = 1 + e t ⋅ sin ⁡ t u ( t )

Partiu próxima questão.

Resposta

x t = 1 + e t ⋅ sin ⁡ t u ( t )