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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 24b

Usando transformadas de Laplace, resolva o seguinte, para t > 0 .

b )   x ' + 4 ∫ 0 t x ( τ ) d τ = 3 sin ⁡ t ,     x 0 = 4

Passo 1

Uoooooooooooooooooooou.

Vamo que vamo...

E pra começar, já vamos transformar esta equação diferencial numa equação algébrica:

s X s - x 0 + 4 X s s = 3 ⋅ 1 s 2 + 1

Para os que não conseguiram acompanhar o que foi feito, eu vou explicar. Usamos duas transformadas que não costumamos muito usar:

L x ' = s X s - x ( 0 )

e

L ∫ 0 t f τ d τ = F s s

Organizando a equação, temos:

s 2 X s - 4 s + 4 X s = 3 s s 2 + 1 ⇒ s 2 + 4 X s = 3 s s 2 + 1 + 4 s

X s = 3 s ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 ) + 4 s s 2 + 4 = M s + N ( s )

A transformada de N s é conhecida. Vamos separar M s em frações parciais

Passo 2

M s = 3 s s 2 + 1 s 2 + 4 = A s + B s 2 + 1 + C s + D s 2 + 4

⇒ 3 s s 2 + 1 s 2 + 4 = A s + B s 2 + 4 + ( C s + D ) ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 )

Como os denominadores são iguais, podemos trabalhar apenas com os numeradores. Assim:

3 s = A s 3 + 4 A s + B s 2 + 4 B + C s 3 + C s + D s 2 + D

⇒ 3 s = A + C s 3 + B + D s 2 + 4 A + C s + ( 4 B + D )

Essa equação nos leva ao seguinte sistema:

A + C = 0 B + D = 0 4 A + C = 3 4 B + D = 0

Esse sistema pode ser separado em dois sistemas independentes

A + C = 0 4 A + C = 3   ⇒ A = 1     e    C = - 1

e

B + D = 0 4 B + D = 0   ⇒ B = D = 0

Assim, a transformada, X ( s ) pode ser expressa como

X s =   M s + N s = s s 2 + 1 - s s 2 + 4 + 4 s s 2 + 4 = s s 2 + 1 + 3 s s 2 + 4

Passo 3

Agora, vamos voltar ao domínio do tempo.

x t = cos ⁡ t + 3 sin ⁡ 2 t u ( t )

Viu como foi fácil? Agora, vamos pra próxima questão>>>>>

Resposta

x t = cos ⁡ t + 3 sin ⁡ 2 t u ( t )