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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 13

Use convolução para calcular a antitransformada de. A) 1 s 2 + 5 s + 6 B) 1 s s 2 + 1

Passo 1

Iae, meus queridos! Td certinho??

O teorema da convolução diz o seguinte:

L - 1 F s G s = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ

Então bora lá.

Letra a)

1 s 2 + 5 s + 6

Temos que desmembrar essa fração como sendo o produto de duas funções, pra isso, vamos calcular as raízes do quociente.

1 s 2 + 5 s + 6 = 1 s + 2 s + 3

Ou seja, encontramos nosso F s e G s .

F s = 1 s + 2

G s = 1 s + 3

Passo 2

Aplicando a transformada inversa em F s e em G s , temos...

F s = 1 s + 2 ⇔ f t = e - 2 t u t

G s = 1 s + 3 ⇔ g t = e - 3 t u t

Agora aplicando a convolução...

L - 1 F s G s = ∫ 0 t e - 2 ( t - τ ) u t e - 3 τ u t d τ

u t ∫ 0 t e - 2 ( t - τ ) e - 3 τ d τ = u t - e - 2 t - τ ​ τ = 0 t

u t - e - 2 t - τ ​ τ = 0 t = u t - e - 2 t - t - - e - 2 t - 0

L - 1 F s G s = e - 2 t - e - 3 t u t

Passo 3

Letra b)

1 s s 2 + 1

Vamos fazer os mesmos passos que fizemos no item anterior.

1 s s 2 + 1 = 1 s · 1 s 2 + 1

Assim, nossas funções são.

F s = 1 s

G s = 1 s 2 + 1

Aplicando a transformada inversa, temos:

F s = 1 s ⇔ f t = u t

G s = 1 s 2 + 1 ⇔ g t = s e n t u t

Passo 4

Aplicando a integral de convolução.

L - 1 F s G s = ∫ 0 t u t s e n τ u t d τ

u t ∫ 0 t s e n τ d τ = u ( t ) ( - cos ⁡ τ ​ τ = 0 t

u ( t ) ( - cos ⁡ τ ​ τ = 0 t = u t - cos ⁡ t - - cos ⁡ 0

L - 1 F s G s = 1 - cos ⁡ t u t

Entendeu? Bem tranquilo, né?

Resposta

(a) L - 1 F s G s = e - 2 t - e - 3 t u t

(b) L - 1 F s G s = 1 - cos ⁡ t u t