“1, 2, 3, GOL, 5, 6, 7, GOL, 9, 10, 11, GOL, 13, GOL, 15, GOL, 17, 18, 19, GOL, 21, 22, 23, GOL, 25, …” Para a Copa do Mundo de Futebol de 2014, um bar onde se reuniam amigos para assistir aos jogos criou uma brincadeira. Um dos presentes era escolhido e tinha que dizer, numa sequência em ordem crescente, os números naturais não nulos, trocando os múltiplos de 4 e os números terminados em 4 pela palavra GOL. A brincadeira acabava quando o participante errava um termo da sequência. Um dos participantes conseguiu falar até o número 103, respeitando as regras da brincadeira. O total de vezes em que esse participante disse a palavra GOL foi:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos uma sequência de números onde substituímos certos números por “GOL”. Especificamente, trocamos os múltiplos de 4 e os números que terminam em 4 por “GOL”. Nosso objetivo é descobrir quantas vezes “GOL” foi dito até o número 103 seguindo essas regras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um múltiplo de 4. Um número é múltiplo de 4 se ele pode ser dividido por 4 sem deixar resto. Por exemplo, 4, 8, 12 são múltiplos de 4 porque 4 ÷ 4 = 1, 8 ÷ 4 = 2, e assim por diante.
Passo 3
Agora, precisamos identificar também os números que terminam em 4. Isso significa qualquer número cuja última casa é 4, como 14, 24, 34, etc.
Passo 4
Vamos percorrer os números de 1 até 103 e contar quantas vezes encontramos um múltiplo de 4 ou um número que termina em 4. Cada vez que encontrarmos, contamos como um “GOL”.
Passo 5
Primeiro, vamos contar os múltiplos de 4 entre 1 e 103. Para isso, dividimos 103 por 4:
Como não podemos ter uma fração de múltiplo, consideramos apenas os 25 múltiplos completos de 4 (até 100).
Passo 6
Agora, vamos contar os números que terminam em 4 entre 1 e 103. Esses são: 4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94.
Isso dá um total de 10 números que terminam em 4.
Passo 7
No entanto, precisamos tomar cuidado para não contar duas vezes os números que são múltiplos de 4 e também terminam em 4. Vamos ver quais números se enquadram nessa categoria: 4, 24, 44, 64, 84, 104. Mas como nosso limite é 103, excluímos 104. Portanto, temos 5 números que já foram contados como múltiplos de 4 e também terminam em 4.
Passo 8
Agora, somamos os múltiplos de 4 com os números que terminam em 4 e subtraímos os que foram contados duas vezes:
Passo 9
Portanto, o participante disse “GOL” 30 vezes até o número 103 seguindo as regras da brincadeira.
Resposta
O participante disse “GOL” 30 vezes até o número 103.