Algumas EDOs de segunda ordem com coeficientes não-constantes podem ser resolvidas com o auxílio de uma mudança de variáveis. É o caso da equação
, onde
e
. Neste exercício iremos aprender a resolver a equação acima, que é genericamente conhecida como equação de Euler:
(a) Faça a substituição
e calcule
termos de
.
(b) Usando os resultados do item (a), mostre que a EDO original é equivalente
0 . Repare que essa é uma equação com coeficientes constantes e, portanto, fácil de ser resolvida. Após resolvê-la e encontrar sua solução geral, fazemos novmente a transformação
para encontrarmos a solução geral em termos da variável original
.
© Utilizando o método descrito acima, resolva:
(c.1)
,
(c.2)
,
(c.3)
,
(c.4)
.
(a) Faça a substituição
(b) Usando os resultados do item (a), mostre que a EDO original é equivalente
© Utilizando o método descrito acima, resolva:
(c.1)
(c.2)
(c.3)
(c.4)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de segunda ordem, especificamente a Equação de Euler:
Aqui,
e
são números reais, e
. Para resolver essa equação, vamos usar uma mudança de variável, substituindo
. Isso vai transformar a equação original em uma com coeficientes constantes, que é mais fácil de resolver. Vamos precisar calcular as derivadas de
em relação a
em termos de
.
Passo 2
Primeiro, fazemos a substituição
. Vamos derivar
em relação a
usando a regra da cadeia.
Sabemos que:
Como
, então:
Portanto:
Passo 3
Agora, calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Sabendo que
, temos:
Ou seja:
Passo 4
Agora substituímos as derivadas de volta na equação original:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Juntando os termos:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial com coeficientes constantes:
Para resolver essa equação, encontramos a equação característica:
Resolvendo para
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Dependendo das raízes, a solução geral será:
-
Duas raízes reais e distintas:
-
Raízes reais e iguais:
-
Raízes complexas:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 6
Após encontrar a solução geral em termos de
, lembramos que fizemos a substituição
. Portanto, substituímos
de volta por
para obter a solução em termos de
:
ou, no caso de raízes complexas:
Resposta
A solução geral da equação de Euler dada é:
-
Para duas raízes reais e distintas
e : -
Para raízes reais e iguais
: -
Para raízes complexas
:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.
Exercícios relacionados
Determine
e
para a função
onde,
e
. Espaço destinado à resposta
Use, se possível, o Teste da Comparação para decidir se as séries convergem ou divergem:
.
Calcule
, onde
é a parte do plano
que está no primeiro octante. Resp: 4
Calcule
, onde
é o cone
e
. Resp: