Alheta retangular de alumínio ( k=200 W /(m K) ), com espessura e =3 mm e comprimento L=7,5 cm, colocada numa parede plana aquecida à temperatura Tb=300 ^circ C. O fluido de arrefecimento circundante está a Tamb =50^circ C e o coeficiente convectivo é h=10 W /(m^2 K). Calcular o calor transferido pela alheta Q , por unidade de tempo e unidade de largura da alheta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma alheta retangular de alumínio com algumas medidas e condições de temperatura, e precisa descobrir quanta energia térmica ela está transferindo por unidade de tempo e por unidade de largura. Isso está dentro da matéria de Transferência de Calor, especificamente envolvendo condução e convecção. Para resolver isso, vamos precisar das propriedades do material (como a condutividade térmica), das dimensões da alheta, das temperaturas envolvidas e do coeficiente convectivo.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que todas as unidades estão consistentes, ou seja, em metros (m), segundos (s), Kelvin (K), etc.
  • Espessura da alheta (e): 3 mm = 0,003 m
  • Comprimento da alheta (L): 7,5 cm = 0,075 m
As temperaturas estão em °C, mas como vamos trabalhar com diferenças de temperatura, podemos manter as mesmas unidades.

Passo 3

Agora, vamos entender a área pela qual o calor está sendo transferido. Como a alheta é retangular e estamos considerando por unidade de largura (vamos assumir 1 metro de largura para simplificar), a área de transferência de calor por condução é:
Ac = e times 1,m = 0,003,m^2
O perímetro da seção transversal é:
P = 2 times (e + 1,m) = 2 times (0,003 + 1) = 2,006,m

Passo 4

Vamos usar a equação da alheta para calcular o calor transferido. A equação geral para uma alheta em regime estacionário é:
d^2 Tdx^2 - hPkAc(T - Tamb) = 0
Onde:
  • $ T $ é a temperatura ao longo da alheta,
  • $ T_{amb} $ é a temperatura ambiente (50°C),
  • $ h $ é o coeficiente convectivo,
  • $ P $ é o perímetro,
  • $ k $ é a condutividade térmica,
  • $ A_c $ é a área de condução.

Passo 5

Vamos definir uma variável para simplificar:
m = raizhPkAc
Calculando $ m $:
m

Passo 6

A solução da equação diferencial para a temperatura $ T(x) $ ao longo da alheta é:
T(x)
Para encontrar o calor transferido, usamos:
T(x) = Tamb + (Tb - Tamb) cosh(m(L - x))cosh(mL)
Substituindo os valores:
Q = raizhPkAc (Tb - Tamb) tanh(mL)
Primeiro calculamos:
Q = raiz10 times 2,006 times 200 times 0,003 times (300 - 50) times tanh(5,78 times 0,075)
Calculando $ \tanh(5,78 \times 0,075) = \tanh(0,4335) \approx 0,409 $
Então:
raiz10 times 2,006 times 200 times 0,003 = raiz10 times 2,006 times 0,6 = raiz12,036 approx 3,47,W/mK

Resposta

O calor transferido pela alheta é aproximadamente 355 W por unidade de tempo e por unidade de largura da alheta.

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