Numa amostra aleatória de 500 famílias que possuem computador em casa, na cidade Poderosa, foi observado que 340 famílias têm aceso à internet.
Encontrar o intervalo de 95 % de confiança para a real proporção de famílias que têm aceso à internet nessa cidade. (0,6391 ; 0,7209)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um desafio sobre estatística, especificamente sobre intervalo de confiança para proporções. O que a gente precisa é descobrir, com 95% de certeza, qual é a verdadeira proporção de famílias na cidade Poderosa que têm acesso à internet, baseado na amostra que você tem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma proporção. Aqui, a proporção é a fração das famílias que têm acesso à internet. Você pegou 500 famílias e viu que 340 têm internet. Então, vamos calcular essa proporção básica.

Passo 3

A proporção amostral (denotada por p̂) é calculada dividindo o número de casos favoráveis pelo total da amostra. Ou seja:
p = 340500 = 0,68
Então, a proporção amostral é 0,68, ou 68%.

Passo 4

Agora, para construir o intervalo de confiança, a gente precisa calcular o erro padrão da proporção. A fórmula para o erro padrão (EP) é:
EP = raizp(1 - p)n
Onde:
  • $ \hat{p} = 0,68 $
  • $ n = 500 $
Vamos calcular isso:
p = 0,68
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,02085.

Passo 5

Como queremos um intervalo de confiança de 95%, precisamos encontrar o valor crítico z correspondente a 95%. Na tabela z, para 95% de confiança, o valor de z é aproximadamente 1,96.

Passo 6

Agora, vamos calcular a margem de erro (ME), que é:
ME = z times EP
Substituindo os valores:
ME = 1,96 times 0,02085 approx 0,0408
Então, a margem de erro é aproximadamente 0,0408.

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da proporção amostral:
Limite Inferior = p - ME = 0,68 - 0,0408 approx 0,6392
Limite Superior = p + ME = 0,68 + 0,0408 approx 0,7208

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a proporção real de famílias com acesso à internet na cidade Poderosa é aproximadamente $ (0,6392 ; 0,7208) $.

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