Numa amostra aleatória de 500 famílias que possuem computador em casa, na cidade Poderosa, foi observado que 340 famílias têm aceso à internet.
Encontrar o intervalo de
de confiança para a real proporção de famílias que têm aceso à internet nessa cidade.
Encontrar o intervalo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um desafio sobre estatística, especificamente sobre intervalo de confiança para proporções. O que a gente precisa é descobrir, com 95% de certeza, qual é a verdadeira proporção de famílias na cidade Poderosa que têm acesso à internet, baseado na amostra que você tem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma proporção. Aqui, a proporção é a fração das famílias que têm acesso à internet. Você pegou 500 famílias e viu que 340 têm internet. Então, vamos calcular essa proporção básica.
Passo 3
A proporção amostral (denotada por p̂) é calculada dividindo o número de casos favoráveis pelo total da amostra. Ou seja:
Então, a proporção amostral é 0,68, ou 68%.
Passo 4
Agora, para construir o intervalo de confiança, a gente precisa calcular o erro padrão da proporção. A fórmula para o erro padrão (EP) é:
Onde:
- $ \hat{p} = 0,68 $
- $ n = 500 $
Vamos calcular isso:
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,02085.
Passo 5
Como queremos um intervalo de confiança de 95%, precisamos encontrar o valor crítico z correspondente a 95%. Na tabela z, para 95% de confiança, o valor de z é aproximadamente 1,96.
Passo 6
Agora, vamos calcular a margem de erro (ME), que é:
Substituindo os valores:
Então, a margem de erro é aproximadamente 0,0408.
Passo 7
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da proporção amostral:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a proporção real de famílias com acesso à internet na cidade Poderosa é aproximadamente $ (0,6392 ; 0,7208) $.