Uma amostra aleatória de 40 homens trabalhando num grande projeto de construção revelou que 6 não estavam usando capacetes protetores
Construa um intervalo de 98 % de confiança para a verdadeira proporção de operários que não estão usando capacetes. (0, 0 1 8 5 ; 0, 2 8 1 5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma amostra aleatória de 40 homens que trabalham num grande projeto de construção, e descobrimos que 6 deles não estavam usando capacetes protetores. A gente precisa construir um intervalo de confiança de 98% para descobrir qual é a verdadeira proporção de operários que não estão usando capacetes nesse tipo de projeto.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística inferencial, especificamente sobre intervalos de confiança para proporções. Vamos calcular a proporção amostral, encontrar o erro padrão, determinar o valor crítico z para 98% de confiança e, por fim, montar o intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção amostral. Isso significa descobrir qual a fração dos operários na nossa amostra que não estava usando capacete.
A proporção amostral, que chamamos de $ \hat{p} $, é dada por:
p ú
Então, $ \hat{p} = 0{.}15 $ ou 15%.

Passo 3

Agora, vamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão nos dá uma ideia de quanto a proporção amostral pode variar em relação à verdadeira proporção da população.
A fórmula do erro padrão para uma proporção é:
Erro Padrão = raizp(1 - p)n ã
Substituindo os valores que já temos:
Erro Padrão = raiz015 times (1 - 015)40 = raiz015 times 08540 = raiz0127540 approx raiz00031875 approx 00565 ã
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,0565.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico z correspondente a um intervalo de confiança de 98%. Esse valor nos indica quantos desvios padrão devemos considerar para cobrir a porcentagem de confiança desejada.
Para um intervalo de 98%, a área nas duas caudas da distribuição normal será de 2% restante (100% - 98%), ou seja, 1% em cada cauda. Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico $ z $ para 98% de confiança é aproximadamente 2,326.

Passo 5

Com o valor crítico z e o erro padrão, podemos agora montar o intervalo de confiança. A fórmula para o intervalo de confiança é:
p pm z times Erro Padrão ã
Substituindo os valores:
015 pm 2,326 times 00565
Calculando o produto:
2,326 times 00565 approx 0,1315
Então, o intervalo fica:
015 - 0,1315 = 0,0185
015 + 0,1315 = 0,2815

Resposta

O intervalo de confiança de 98% para a verdadeira proporção de operários que não estão usando capacetes é (0,0185 ; 0,2815).

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