Uma amostra de tamanho 2 será selecionada com reposição de uma população X com valores 2,4,6.
(b) Determine a distribuição amotral de barX=(X1+X2) / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Tem uma população X com os valores 2, 4, 6 e a gente vai tirar uma amostra de tamanho 2, com reposição. O que a gente quer descobrir aqui é a distribuição teórica da média amostral, que é barX = X1 + X22. Pra resolver isso, vamos precisar entender de probabilidade básica e como calcular médias de amostras.

Passo 2

Primeiro, como estamos tirando a amostra com reposição, cada vez que a gente escolhe um número, ele volta para a população. Assim, todas as combinações possíveis de X1 e X2 são igualmente prováveis. Vamos listar todas as combinações possíveis:
  • (2, 2)
  • (2, 4)
  • (2, 6)
  • (4, 2)
  • (4, 4)
  • (4, 6)
  • (6, 2)
  • (6, 4)
  • (6, 6)
Como temos 3 opções para X1 e 3 para X2, no total são 3 times 3 = 9 combinações.

Passo 3

Agora, vamos calcular a média barX para cada uma dessas combinações:
  • (2, 2): barX = 2 + 22 = 2
  • (2, 4): barX = 2 + 42 = 3
  • (2, 6): barX = 2 + 62 = 4
  • (4, 2): barX = 4 + 22 = 3
  • (4, 4): barX = 4 + 42 = 4
  • (4, 6): barX = 4 + 62 = 5
  • (6, 2): barX = 6 + 22 = 4
  • (6, 4): barX = 6 + 42 = 5
  • (6, 6): barX = 6 + 62 = 6

Passo 4

Agora que temos todas as médias, vamos contar quantas vezes cada valor aparece:
  • barX = 2: 1 vez
  • barX = 3: 2 vezes
  • barX = 4: 3 vezes
  • barX = 5: 2 vezes
  • barX = 6: 1 vez

Passo 5

Como há 9 combinações no total, a probabilidade de cada média é o número de vezes que ela aparece dividido por 9:
  • P( barX = 2) = 19
  • P( barX = 3) = 29
  • P( barX = 4) = 39 = 13
  • P( barX = 5) = 29
  • P( barX = 6) = 19

Resposta

A distribuição teórica de barX é:
P(barX = 2) = dfrac19 P(barX = 3) = dfrac29 P(barX = 4) = dfrac13 P(barX = 5) = dfrac29 P(barX = 6) = dfrac19

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