Seja X1, ldots, Xn uma amostra aleatória proveniente de uma população com média mu e variância sigma^2. Considere também a média amostral barX. Prove que
E(barX)=mu e var(barX)=sigma^2n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre amostras aleatórias, especificamente sobre a média amostral barX de uma população que tem média mu e variância sigma^2. Nosso objetivo aqui é provar duas coisas: que o valor esperado da média amostral é igual à média da população ( E(barX) = mu) e que a variância da média amostral é sigma^2n. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística básica como valor esperado e variância, além de propriedades de variáveis aleatórias independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a média amostral barX. Ela é calculada somando todas as observações da amostra e dividindo pelo número de observações n:
barX = 1n sumi=1^n Xi

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado da média amostral, E(barX). Lembre-se que o valor esperado é como a média teórica que esperamos obter se repetirmos o experimento várias vezes.
E(barX) = E( 1n sumi=1^n Xi )

Passo 4

Usando a propriedade da linearidade do valor esperado, que nos permite separar a soma e multiplicar pelo constante, temos:
E(barX) = 1n sumi=1^n E(Xi)

Passo 5

Como todos os Xi são identicamente distribuídos com média mu, substituímos:
E(barX) = 1n sumi=1^n mu = 1n cdot n mu = mu

Passo 6

Então, provamos que o valor esperado da média amostral é igual à média da população:
E(barX) = mu

Passo 7

Agora, vamos calcular a variância da média amostral, var(barX). A variância mede o quanto os valores da média amostral variam em torno do valor esperado.
var(barX) = var( 1n sumi=1^n Xi )

Passo 8

Usando a propriedade da variância que permite fatorar constantes e que, se as variáveis são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias:
var(barX) = 1n^2 sumi=1^n var(Xi)

Passo 9

Como todas as variâncias var(Xi) são iguais a sigma^2, substituímos:
var(barX) = 1n^2 cdot n sigma^2 = sigma^2n

Resposta

Portanto, provamos que E(barX) = mu e var(barX) = sigma^2n.

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