Seja
uma amostra aleatória proveniente de uma população com média
e variância
. Considere também a média amostral
. Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre amostras aleatórias, especificamente sobre a média amostral
de uma população que tem média
e variância
. Nosso objetivo aqui é provar duas coisas: que o valor esperado da média amostral é igual à média da população (
) e que a variância da média amostral é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística básica como valor esperado e variância, além de propriedades de variáveis aleatórias independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a média amostral
. Ela é calculada somando todas as observações da amostra e dividindo pelo número de observações
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor esperado da média amostral,
. Lembre-se que o valor esperado é como a média teórica que esperamos obter se repetirmos o experimento várias vezes.
Passo 4
Usando a propriedade da linearidade do valor esperado, que nos permite separar a soma e multiplicar pelo constante, temos:
Passo 5
Como todos os
são identicamente distribuídos com média
, substituímos:
Passo 6
Então, provamos que o valor esperado da média amostral é igual à média da população:
Passo 7
Agora, vamos calcular a variância da média amostral,
. A variância mede o quanto os valores da média amostral variam em torno do valor esperado.
Passo 8
Usando a propriedade da variância que permite fatorar constantes e que, se as variáveis são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias:
Passo 9
Como todas as variâncias
são iguais a
, substituímos:
Resposta
Portanto, provamos que
e
.