Analise a posição relativa entre a esfera S e o plano pi dados abaixo. Caso pi cap S seja um círculo, determine o centro e o raio do círculo, e caso pi cap S seja um ponto, obtenha suas coordenadas.
(a) S: x^2+y^2+z^2+2 x+2 y=2 e pi: x+2 y-z=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um exercício de geometria analítica que envolve uma esfera $ S $ e um plano $ \pi $. O que a gente precisa descobrir é como o plano $ \pi $ se relaciona com a esfera $ S $. Basicamente, a interseção entre eles pode ser:
  • Um círculo
  • Apenas um ponto (quando o plano toca a esfera exatamente em um ponto)
  • Nenhum ponto de interseção
No nosso caso, queremos ver se a interseção é um círculo ou um ponto e, dependendo disso, encontrar o centro e o raio do círculo ou as coordenadas do ponto. Para isso, vamos precisar usar fórmulas da geometria analítica sobre esferas e planos, além de cálculo de distância entre pontos e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação da esfera $ S $:
S
Para facilitar, vamos completar o quadrado para encontrar o centro e o raio da esfera. Vamos agrupar os termos de $ x $ e $ y $:
x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 2y = 2
Completar o quadrado para $ x $:
x
Para $ y $:
y
Substituindo de volta na equação da esfera:
(x^2 + 2x) + (y^2 + 2y) + z^2 = 2
Simplificando:
x
Então, a esfera $ S $ tem centro em $ C_S = (-1, -1, 0) $ e raio $ r_S = 2 $.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o plano $ \pi $:
pi
A gente quer descobrir a distância entre o centro da esfera $ C_S = (-1, -1, 0) $ e o plano $ \pi $. A fórmula para a distância $ d $ entre um ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ e um plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $ é:
x + 2y - z = 1
Vamos ajustar a equação do plano para a forma padrão $ Ax + By + Cz + D = 0 $:
CS = (-1, -1, 0)
Então, $ A = 1 $, $ B = 2 $, $ C = -1 $, e $ D = -1 $.
Substituindo o centro da esfera $ C_S = (-1, -1, 0) $ na fórmula:
pi
d
(x0, y0, z0)
Ax + By + Cz + D = 0
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:
d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2

Passo 4

Agora, vamos comparar essa distância $ d $ com o raio da esfera $ r_S = 2 $:
  • Se $ d < r_S $, a interseção é um círculo.
  • Se $ d = r_S $, a interseção é um ponto (o plano é tangente à esfera).
  • Se $ d > r_S $, não há interseção.
Vamos calcular $ \frac{2\sqrt{6}}{3} $ para comparar com 2:
d
Como $ 1.633 < 2 $, a interseção entre $ \pi $ e $ S $ é um círculo.

Passo 5

Agora que sabemos que a interseção é um círculo, vamos encontrar o centro e o raio desse círculo. O centro do círculo estará na projeção do centro da esfera $ C_S $ sobre o plano $ \pi $.
A fórmula para encontrar a projeção $ P $ de um ponto $ C(x_0, y_0, z_0) $ sobre o plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $ é:
CS
Usando os valores:
pi
P
Primeiro, calculamos o numerador comum:
C(x0, y0, z0)
E o denominador:
Ax + By + Cz + D = 0
Agora, calculamos as coordenadas de $ P $:
P = ( x0 - A A x0 + B y0 + C z0 + DA^2 + B^2 + C^2, y0 - B A x0 + B y0 + C z0 + DA^2 + B^2 + C^2, z0 - C A x0 + B y0 + C z0 + DA^2 + B^2 + C^2 )
CS = (-1, -1, 0)
A = 1, B = 2, C = -1, D = -1
Então, o centro do círculo $ C_P $ é $ \left( -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right) $.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o raio $ r $ do círculo de interseção. A relação entre o raio da esfera $ r_S $, a distância $ d $ entre o centro da esfera e o plano, e o raio $ r $ do círculo de interseção é dada por:
r
Sabemos que $ r_S = 2 $ e $ d = \frac{2\sqrt{6}}{3} $. Vamos calcular:
rS
d
r
r^2 = rS^2 - d^2
rS = 2
d = 2raiz63

Resposta

A interseção entre a esfera $ S $ e o plano $ \pi $ é um círculo com centro nas coordenadas $ \left( -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right) $ e raio igual a $ \frac{2\sqrt{3}}{3} $.

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