A área de uma esfera está inscrita em um cilindro de 150π cm² de área total. Determine a área e o volume dessa esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema de geometria envolvendo uma esfera inscrita em um cilindro. O enunciado diz que a área total do cilindro é
. Nosso objetivo é encontrar tanto a área quanto o volume dessa esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de áreas e volumes de cilindros e esferas, além de entender a relação entre eles quando a esfera está inscrita no cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a esfera estar inscrita no cilindro. Isso quer dizer que a esfera toca o cilindro nas partes laterais e nas bases. Nesse caso, o diâmetro da esfera é igual ao diâmetro do cilindro e também à altura do cilindro. Vamos chamar o raio da esfera de $ r $. Então, o diâmetro da esfera é $ 2r $, e como está inscrita, a altura do cilindro também será $ 2r $ e seu raio também será $ r $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar qual é a fórmula da área total do cilindro. A área total $ A $ de um cilindro é dada pela soma da área lateral com as áreas das duas bases. A fórmula é:
Onde:
- $ r $ é o raio da base do cilindro,
- $ h $ é a altura do cilindro.
Passo 4
Sabemos que a área total do cilindro é
e que a altura $ h $ é igual a
. Vamos substituir $ h $ na fórmula:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ r² $:
Dividindo ambos os lados por
:
Então:
Passo 6
Com o raio $ r = 5 , cm $, podemos agora calcular a área e o volume da esfera. A área $ A_{esfera} $ de uma esfera é dada por:
Substituindo:
Passo 7
Para o volume $ V $ da esfera, usamos a fórmula:
Substituindo o valor de $ r $:
Resposta
A área da esfera é
e o volume é
.