A área de uma esfera está inscrita em um cilindro de 150π cm² de área total. Determine a área e o volume dessa esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de geometria envolvendo uma esfera inscrita em um cilindro. O enunciado diz que a área total do cilindro é 150pi , cm²². Nosso objetivo é encontrar tanto a área quanto o volume dessa esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de áreas e volumes de cilindros e esferas, além de entender a relação entre eles quando a esfera está inscrita no cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a esfera estar inscrita no cilindro. Isso quer dizer que a esfera toca o cilindro nas partes laterais e nas bases. Nesse caso, o diâmetro da esfera é igual ao diâmetro do cilindro e também à altura do cilindro. Vamos chamar o raio da esfera de $ r $. Então, o diâmetro da esfera é $ 2r $, e como está inscrita, a altura do cilindro também será $ 2r $ e seu raio também será $ r $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar qual é a fórmula da área total do cilindro. A área total $ A $ de um cilindro é dada pela soma da área lateral com as áreas das duas bases. A fórmula é:
A ²
Onde:
  • $ r $ é o raio da base do cilindro,
  • $ h $ é a altura do cilindro.

Passo 4

Sabemos que a área total do cilindro é 150pi , cm²² e que a altura $ h $ é igual a h . Vamos substituir $ h $ na fórmula:
2r²
Simplificando:
h ²²
150pi = 2pi r (2r) + 2pi r² ²

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ r² $:
²
Dividindo ambos os lados por 150pi = 6pi r² :
6pi²
Então:
r² = 150pi6pi = 25

Passo 6

Com o raio $ r = 5 , cm $, podemos agora calcular a área e o volume da esfera. A área $ A_{esfera} $ de uma esfera é dada por:
r = 5 , cm ²
Substituindo:
Aesfera ²²

Passo 7

Para o volume $ V $ da esfera, usamos a fórmula:
V ³
Substituindo o valor de $ r $:
V = 43pi r³ ³³

Resposta

A área da esfera é 100pi , cm²² e o volume é 5003pi , cm³³.

Exercícios relacionados