A área entre as retas y=0, x=1/e , x=1 e a curva y(x) = ln(x) é: Escolha uma:
a. 0,59 u.a.
b. 0,37 u.a.
c. 0,15 u.a.
d. 0,26 u.a.
e. 0,48 u.a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para achar a área entre as retas $ y = 0 $ (que é o eixo $ x $), $ x = \frac{1}{e} $, $ x = 1 $ e a curva $ y(x) = \ln(x) $. Vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integração, para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quais são os limites de integração. As retas verticais são $ x = \frac{1}{e} $ e $ x = 1 $, então vamos integrar de $ \frac{1}{e} $ até $ 1 $.

Passo 3

A função que nos dá a curva é $ y = \ln(x) $. Para achar a área entre essa curva e o eixo $ x $, vamos integrar $ \ln(x) $ nesse intervalo. A fórmula da integral definida que vamos usar é:
y = ln(x)

Passo 4

Vamos calcular a antiderivada de $ \ln(x) $. Sabemos que:
ln(x)
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar nas integrais definidas.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração na antiderivada:
A = [ x ln(x) - x ]1e^1
Primeiro, calculamos para $ x = 1 $:
x = 1
Depois, para $ x = \frac{1}{e} $:
1 cdot ln(1) - 1 = 0 - 1 = -1

Passo 6

Subtraindo os valores obtidos:
A = (-1) - (-2e) = -1 + 2e
Sabendo que $ e \approx 2,71828 $, vamos calcular $ \frac{2}{e} $:
e approx 2,71828
Então:
2e
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
22,71828 approx 0,73576

Resposta

A área é aproximadamente 0,26 u.a. (opção d).

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