Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(0,4) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y’ = 2.sen(y), sendo y(0) = 3. Considere h = 0,1. Utilize o método de Euler:
Passo 1
Entendendo o Problema
A gente precisa resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem dada por:
com a condição inicial $ y(0) = 3 $. O objetivo é encontrar o valor de $ y(0,4) $ usando o método de Euler com um passo $ h = 0,1 $.
Conteúdo Envolvido
- Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs): São equações que relacionam uma função desconhecida com suas derivadas.
- Método de Euler: Uma técnica numérica para aproximar soluções de EDOs.
O que Vamos Precisar
Para resolver esse exercício, vamos seguir o método de Euler, que nos permite estimar o valor da função $ y $ em pontos subsequentes a partir de um ponto inicial conhecido.
Passo 2
Relembrando o Método de Euler
O método de Euler é uma forma simples de aproximar soluções de EDOs. A fórmula básica é:
onde:
- $ y_{n} $ é o valor atual da função.
- $ h $ é o tamanho do passo.
- $ f(x_n, y_n) $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $ no ponto $ (x_n, y_n) $.
Nesse caso, nossa EDO é $ y’ = 2 \cdot \sin(y) $, então:
Passo 3
Primeiro Passo de Cálculo ($ n = 0 $ para $ n = 1 $)
Começamos com $ x_0 = 0 $ e $ y_0 = 3 $.
Aplicando a fórmula de Euler:
Substituindo os valores:
Calculando $ \sin(3) $ (em radianos):
Então:
Passo 4
Segundo Passo de Cálculo ($ n = 1 $ para $ n = 2 $)
Agora usamos $ y_1 \approx 3,0282 $.
Calculando $ \sin(3,0282) $:
Então:
Passo 5
Terceiro Passo de Cálculo ($ n = 2 $ para $ n = 3 $)
Utilizando $ y_2 \approx 3,0508 $:
Calculando $ \sin(3,0508) $:
Então:
Passo 6
Quarto Passo de Cálculo ($ n = 3 $ para $ n = 4 $)
Agora, com $ y_3 \approx 3,0689 $:
Calculando $ \sin(3,0689) $:
Então: