Uma barra de comprimento L e seção reta de área A tem sua densidade determinada pela função linear rho(x)=b x. A barra encontra-se ao longo do eixo X , com uma de suas extremidades em x=0. Determine a posição do seu centro de massa, em relação à extremidade localizada na origem do eixo X.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra de comprimento L e área de seção reta A. A densidade linear da barra é dada pela função rho(x) = b x, onde x é a posição ao longo da barra. A barra está alinhada no eixo X, com uma extremidade na origem ( x = 0). Precisamos determinar a posição do centro de massa dessa barra em relação à extremidade na origem. Vamos usar conceitos de cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a massa total da barra. A densidade linear rho(x) nos dá a massa por unidade de comprimento. Para encontrar a massa total ( m), integramos rho(x) ao longo do comprimento da barra:
m = integral0^L rho(x) , dx = integral0^L b x , dx

Passo 3

Vamos resolver essa integral para encontrar a massa total:
m = b integral0^L x , dx = b [ x^22 ]0^L = b ( L^22 - 0 ) = b L^22

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o momento em relação à origem para calcular o centro de massa. O momento ( M) é dada pela integral de x vezes a densidade rho(x):
M = integral0^L x rho(x) , dx = integral0^L x cdot b x , dx = b integral0^L x^2 , dx

Passo 5

Vamos resolver essa segunda integral:
M = b integral0^L x^2 , dx = b [ x^33 ]0^L = b ( L^33 - 0 ) = b L^33

Passo 6

Agora, o centro de massa ( barx) é dado pela razão entre o momento M e a massa total m:
barx = Mm = b L^33b L^22 = 2 L3

Resposta

A posição do centro de massa em relação à extremidade na origem é barx = dfrac23 , L.

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