Uma barra de comprimento e seção reta de área tem sua densidade determinada pela função linear . A barra encontra-se ao longo do eixo X , com uma de suas extremidades em . Determine a posição do seu centro de massa, em relação à extremidade localizada na origem do eixo X.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra de comprimento e área de seção reta . A densidade linear da barra é dada pela função , onde é a posição ao longo da barra. A barra está alinhada no eixo , com uma extremidade na origem ( ). Precisamos determinar a posição do centro de massa dessa barra em relação à extremidade na origem. Vamos usar conceitos de cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a massa total da barra. A densidade linear nos dá a massa por unidade de comprimento. Para encontrar a massa total ( ), integramos ao longo do comprimento da barra:

Passo 3

Vamos resolver essa integral para encontrar a massa total:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o momento em relação à origem para calcular o centro de massa. O momento ( ) é dada pela integral de vezes a densidade :

Passo 5

Vamos resolver essa segunda integral:

Passo 6

Agora, o centro de massa ( ) é dado pela razão entre o momento e a massa total :

Resposta

A posição do centro de massa em relação à extremidade na origem é .

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