Uma barra de comprimento
e seção reta de área
tem sua densidade determinada pela função linear
. A barra encontra-se ao longo do eixo X , com uma de suas extremidades em
. Determine a posição do seu centro de massa, em relação à extremidade localizada na origem do eixo X.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra de comprimento
e área de seção reta
. A densidade linear da barra é dada pela função
, onde
é a posição ao longo da barra. A barra está alinhada no eixo
, com uma extremidade na origem (
). Precisamos determinar a posição do centro de massa dessa barra em relação à extremidade na origem. Vamos usar conceitos de cálculo integral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a massa total da barra. A densidade linear
nos dá a massa por unidade de comprimento. Para encontrar a massa total (
), integramos
ao longo do comprimento da barra:
Passo 3
Vamos resolver essa integral para encontrar a massa total:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o momento em relação à origem para calcular o centro de massa. O momento (
) é dada pela integral de
vezes a densidade
:
Passo 5
Vamos resolver essa segunda integral:
Passo 6
Agora, o centro de massa (
) é dado pela razão entre o momento
e a massa total
:
Resposta
A posição do centro de massa em relação à extremidade na origem é
.
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