Uma biblioteca possui 300 livros, todos do mesmo tamanho. Um funcionário pretende dividi-los igualmente entre as prateleiras da loja. Sabendo que, se os livros forem igualmente divididos entre 3 prateleiras a menos, cada prateleira receberá 5 livros a mais do que o previsto inicialmente. Assim, o número de prateleiras para colocar todos os livros é:
a) Múltiplo de 4.
b) Múltiplo de 3.
c) Entre 10 e 12.
d) Maior que 20.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma biblioteca com 300 livros que precisam ser divididos igualmente entre as prateleiras. Se a gente diminuir o número de prateleiras em 3, cada prateleira vai receber 5 livros a mais do que inicialmente. Nosso objetivo é descobrir quantas prateleiras a biblioteca tem. Vamos usar conceitos de proporcionalidade e equações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma variável para facilitar. Vamos chamar o número de prateleiras inicialmente de $ n $.
Então, se dividirmos os 300 livros igualmente entre $ n n á \frac{300}{n} $ livros.

Passo 3

Agora, se diminuirmos o número de prateleiras em 3, ou seja, temos $ n - 3 n - 3 á \frac{300}{n - 3} $ livros.
Segundo a questão, com menos 3 prateleiras, cada uma recebe 5 livros a mais. Então, podemos montar a seguinte equação:
300n - 3

Passo 4

Vamos resolver essa equação passo a passo.
Primeiro, vamos subtrair $ \frac{300}{n} $ de ambos os lados:
300n
Para subtrair as frações, precisamos de um denominador comum, que é $ n(n - 3) $:
300n - 3 - 300n = 5
Simplificando o numerador:
n(n - 3)
Isso fica:
300n - 300(n - 3)n(n - 3) = 5

Passo 5

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por $ n(n - 3) $ para eliminar a fração:
n(n - 3)
Dividindo ambos os lados por 5:
900 = 5n(n - 3)
Rearranjando para formar uma equação quadrática:
180 = n^2 - 3n

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
n = 3 pm raiz9 + 7202 = 3 pm raiz7292
Sabendo que $ \sqrt{729} = 27 $:
raiz729 = 27
Como o número de prateleiras não pode ser negativo, descartamos -12.

Resposta

O número de prateleiras é 15, que é um múltiplo de 3. Portanto, a alternativa correta é a letra b) Múltiplo de 3.

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