Uma biblioteca possui 300 livros, todos do mesmo tamanho. Um funcionário pretende dividi-los igualmente entre as prateleiras da loja. Sabendo que, se os livros forem igualmente divididos entre 3 prateleiras a menos, cada prateleira receberá 5 livros a mais do que o previsto inicialmente. Assim, o número de prateleiras para colocar todos os livros é:
a) Múltiplo de 4.
b) Múltiplo de 3.
c) Entre 10 e 12.
d) Maior que 20.
a) Múltiplo de 4.
b) Múltiplo de 3.
c) Entre 10 e 12.
d) Maior que 20.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma biblioteca com 300 livros que precisam ser divididos igualmente entre as prateleiras. Se a gente diminuir o número de prateleiras em 3, cada prateleira vai receber 5 livros a mais do que inicialmente. Nosso objetivo é descobrir quantas prateleiras a biblioteca tem. Vamos usar conceitos de proporcionalidade e equações para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma variável para facilitar. Vamos chamar o número de prateleiras inicialmente de $ n $.
Então, se dividirmos os 300 livros igualmente entre $ n
\frac{300}{n} $ livros.
Passo 3
Agora, se diminuirmos o número de prateleiras em 3, ou seja, temos $ n - 3
\frac{300}{n - 3} $ livros.
Segundo a questão, com menos 3 prateleiras, cada uma recebe 5 livros a mais. Então, podemos montar a seguinte equação:
Passo 4
Vamos resolver essa equação passo a passo.
Primeiro, vamos subtrair $ \frac{300}{n} $ de ambos os lados:
Para subtrair as frações, precisamos de um denominador comum, que é $ n(n - 3) $:
Simplificando o numerador:
Isso fica:
Passo 5
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por $ n(n - 3) $ para eliminar a fração:
Dividindo ambos os lados por 5:
Rearranjando para formar uma equação quadrática:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Sabendo que $ \sqrt{729} = 27 $:
Como o número de prateleiras não pode ser negativo, descartamos -12.
Resposta
O número de prateleiras é 15, que é um múltiplo de 3. Portanto, a alternativa correta é a letra b) Múltiplo de 3.