Um bloco cúbico, com arestas de e massa de 5 kg , desliza em um plano inclinado parạ baixo em relaçāo à horizontal, sobre um filme de óleo SAE 30 a com de espessura. Se o bloco for liberado do repouso em , qual a sua aceleração inicial? Obtenha uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo. Trace a curva . Determine a velocidade do bloco após desejássemos que o bloco atingisse uma velocidade de neste tempo, qual deveria ser a viscosidade do óleo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um bloco cúbico de arestas de 0,2 metros e massa de 5 kg que está deslizando por um plano inclinado de 30 graus. Esse bloco está se movendo sobre um filme de óleo SAE 30 com 0,20 mm de espessura a 20°C. A pergunta quer saber qual é a aceleração inicial do bloco quando ele começa a se mover, como a velocidade dele muda com o tempo, a velocidade após 0,1 segundos e qual a viscosidade necessária do óleo para que a velocidade seja de 0,3 m/s nesse tempo. Vamos precisar usar conceitos de força, aceleração, viscosidade e movimento em planos inclinados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a força que está fazendo o bloco acelerar no plano inclinado. Essa força vem da componente do peso do bloco paralela ao plano. A fórmula para essa força é:
Onde:
  • é a massa do bloco,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o ângulo do plano inclinado.
Vamos calcular isso:

Passo 3

Agora, precisamos considerar a força de resistência causada pelo óleo, que é uma força viscosa. A fórmula para a força viscosa é:
Onde:
  • é a viscosidade do óleo,
  • é a área de contato,
  • é a velocidade do bloco,
  • é a espessura do filme de óleo.
Como estamos procurando a aceleração inicial, quando o bloco começa a se mover ( ), a força viscosa inicialmente é zero. Portanto, a única força atuando para causar a aceleração é .

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton, , podemos encontrar a aceleração inicial do bloco:

Passo 5

Agora, para encontrar a expressão da velocidade em função do tempo, vamos considerar que a força viscosa depende da velocidade (a força contrária aumenta com a rapidez do movimento). A equação diferencial que descreve o movimento é:
Podemos rearranjar isso para:
Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida usando um fator integrante. A solução geral é:

Passo 6

Para traçar a curva , precisaríamos de valores específicos para a viscosidade . Entretanto, como não temos isso ainda, vamos passar para a próxima parte da questão.

Passo 7

Queremos determinar a velocidade do bloco após 0,1 segundos usando a aceleração inicial. Como a aceleração inicial é constante no início:

Passo 8

Agora, se quisermos que o bloco atinja uma velocidade de 0,3 m/s após 0,1 segundos, precisamos ajustar a viscosidade para que a força viscosa balanceie a força paralela de modo a atingir essa velocidade desejada.
Usando a equação da velocidade:
Para simplificar, assumindo que é pequeno e :
Resolvendo para :
Substituindo os valores:

Resposta

A aceleração inicial do bloco é de aproximadamente , a velocidade após 0,1 segundos é , e para que o bloco atinja nesse tempo, a viscosidade do óleo deveria ser aproximadamente .

Exercícios relacionados

Defina os seguintes termos:
(a) Escoamento interno;
(b) Escoamento externo;
© Escoamento em canal aberto;
(d) Número de Mach;
Se um tanque contém de benzeno , então pode-se dizer que o tanque possui:
h) Quantos átomos de H?
A densidade relativa da gasolina é aproximadamente 0,70 .
d) Se a vazão mássica de gasolina saindo de um tanque de refinaria é , estime a vazão volumétrica em .