Um bloco cúbico, com arestas de 0,2 m e massa de 5 kg , desliza em um plano inclinado 30^circ parạ baixo em relaçāo à horizontal, sobre um filme de óleo SAE 30 a 20^circ C com 0,20 mm de espessura. Se o bloco for liberado do repouso em t=0, qual a sua aceleração inicial? Obtenha uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo. Trace a curva V(t). Determine a velocidade do bloco após 0,1 s Se desejássemos que o bloco atingisse uma velocidade de 0,3 m / s neste tempo, qual deveria ser a viscosidade mu do óleo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um bloco cúbico de arestas de 0,2 metros e massa de 5 kg que está deslizando por um plano inclinado de 30 graus. Esse bloco está se movendo sobre um filme de óleo SAE 30 com 0,20 mm de espessura a 20°C. A pergunta quer saber qual é a aceleração inicial do bloco quando ele começa a se mover, como a velocidade dele muda com o tempo, a velocidade após 0,1 segundos e qual a viscosidade necessária do óleo para que a velocidade seja de 0,3 m/s nesse tempo. Vamos precisar usar conceitos de força, aceleração, viscosidade e movimento em planos inclinados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a força que está fazendo o bloco acelerar no plano inclinado. Essa força vem da componente do peso do bloco paralela ao plano. A fórmula para essa força é:
Fpara<=la = m cdot g cdot sin(theta)
Onde:
  • Fpara<=la = 5 cdot 9,81 cdot sin(30^circ) = 5 cdot 9,81 cdot 0,5 = 24,525 , N é a massa do bloco,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o ângulo do plano inclinado.
Vamos calcular isso:

Passo 3

Agora, precisamos considerar a força de resistência causada pelo óleo, que é uma força viscosa. A fórmula para a força viscosa é:
Fviscosa = mu cdot A cdot vd
Onde:
  • é a viscosidade do óleo,
  • é a área de contato,
  • é a velocidade do bloco,
  • é a espessura do filme de óleo.
Como estamos procurando a aceleração inicial, quando o bloco começa a se mover ( ), a força viscosa inicialmente é zero. Portanto, a única força atuando para causar a aceleração é .

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton, a = Fpara<=lam = 24,5255 = 4,905 , m/s^2 , podemos encontrar a aceleração inicial do bloco:

Passo 5

Agora, para encontrar a expressão da velocidade em função do tempo, vamos considerar que a força viscosa depende da velocidade (a força contrária aumenta com a rapidez do movimento). A equação diferencial que descreve o movimento é:
m cdot dvdt = m cdot g cdot sin(theta) - mu cdot A cdot vd
Podemos rearranjar isso para:
dvdt + ( mu cdot Am cdot d ) v = g cdot sin(theta)
Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida usando um fator integrante. A solução geral é:
v(t) = g cdot sin(theta) cdot m cdot dmu cdot A ( 1 - e^-mu cdot Am cdot d t )

Passo 6

Para traçar a curva , precisaríamos de valores específicos para a viscosidade . Entretanto, como não temos isso ainda, vamos passar para a próxima parte da questão.

Passo 7

Queremos determinar a velocidade do bloco após 0,1 segundos usando a aceleração inicial. Como a aceleração inicial é constante no início:
v(t) = a cdot t = 4,905 cdot 0,1 = 0,4905 , m/s

Passo 8

Agora, se quisermos que o bloco atinja uma velocidade de 0,3 m/s após 0,1 segundos, precisamos ajustar a viscosidade 0,3 = g cdot sin(theta) cdot m cdot dmu cdot A ( 1 - e^-mu cdot Am cdot d cdot 0,1 ) para que a força viscosa balanceie a força paralela de modo a atingir essa velocidade desejada.
Usando a equação da velocidade:
0,3 approx g cdot sin(theta) cdot m cdot dmu cdot A cdot mu cdot Am cdot d cdot t = g cdot sin(theta) cdot t
Para simplificar, assumindo que mu = g cdot sin(theta) cdot m cdot d cdot tA cdot v(t) é pequeno e mu = 9,81 cdot 0,5 cdot 5 cdot 0,0002 cdot 0,1(0,2)^2 cdot 0,3 = 0,049050,012 approx 4,0875 , Pa·s :
Resolvendo para :
Substituindo os valores:

Resposta

A aceleração inicial do bloco é de aproximadamente , a velocidade após 0,1 segundos é , e para que o bloco atinja nesse tempo, a viscosidade do óleo deveria ser aproximadamente .

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