Calcule a derivada de f(x) = x³ e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x³ no ponto x = –1. Assinale a alternativa que contém a equação da reta tangente nesse ponto. Escolha uma:
a. y = 3x.
b. y = 3x + 2.
c. y = x³ – 1.
d. y = x² – 1.
e. y = 2x + 3.
a. y = 3x.
b. y = 3x + 2.
c. y = x³ – 1.
d. y = x² – 1.
e. y = 2x + 3.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função $ f(x) = x^3 $ e precisa calcular a sua derivada. Depois, com essa derivada, vamos descobrir a inclinação da reta tangente à curva dessa função no ponto onde $ x = -1 $. Por fim, vamos escolher a alternativa que dá a equação correta dessa reta tangente. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e como elas nos ajudam a encontrar a inclinação de uma curva em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de $ f(x) = x^3 $. A derivada de uma função basicamente nos diz a inclinação da reta tangente à curva dessa função em qualquer ponto. Para derivar $ x^3 $, usamos a regra do poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
Então, aplicando a regra:
Passo 3
Agora que temos a derivada $ f’(x) = 3x^2 $, vamos usar isso para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto onde $ x = -1 $. Basta substituir $ x = -1 $ na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 3.
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente sabendo que é 3, precisamos encontrar a equação dessa reta. A equação da reta tangente pode ser escrita na forma:
Onde:
- $ m $ é a inclinação da reta (nesse caso, 3),
- $ (x_0, y_0) $ é o ponto de tangência na curva.
Sabemos que $ x_0 = -1 $. Para encontrar $ y_0 $, substituímos $ x = -1 $ na função original:
Agora, substituindo esses valores na equação da reta:
Passo 5
Agora, vamos comparar essa equação com as alternativas fornecidas:
a. $ y = 3x $
b. $ y = 3x + 2 $
c. $ y = x^3 - 1 $
d. $ y = x^2 - 1 $
e. $ y = 2x + 3 $
b. $ y = 3x + 2 $
c. $ y = x^3 - 1 $
d. $ y = x^2 - 1 $
e. $ y = 2x + 3 $
A equação que encontramos é $ y = 3x + 2 $, que corresponde à alternativa b.
Resposta
A alternativa correta é b. y = 3x + 2.