Calcule o limite L=lim x +infty(xx+1)^2 x.
(a) L=1;
(b) L=+infty;
© L=e^2;
(d) L=1e^2;
(e) L=1e.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver o limite . Esse exercício envolve conceitos de limites de funções exponenciais e logaritmos naturais. Vamos precisar utilizar propriedades de limites e a definição da constante .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. A fração ( xx + 1 )^2x = ( 1 - 1x + 1 )^2x pode ser reescrita como . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que quando se aproxima de . Nesse caso, temos algo parecido, mas com um sinal negativo e o expoente .

Passo 4

Para aplicar essa ideia, vamos reescrever a expressão de forma que se assemelhe ao formato conhecido:
(1 - 1x + 1)^2x = [(1 - 1x + 1)^x + 1]^2xx + 1
À medida que , se aproxima de 2.

Passo 5

Sabemos que:
limn to infty (1 - 1n)^n = 1e
Aplicando isso à nossa expressão, temos:
(1 - 1x + 1)^x + 1 to 1e quando x to +infty

Passo 6

Então, substituindo de volta na nossa expressão original:
[(1 - 1x + 1)^x + 1]^2xx + 1 to (1e)^2 = 1e^2

Resposta

A alternativa correta é a d) .

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