Calcule a seguinte integral indefinida ∫(³√x²)dx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: ∫(³√x²)dx. Isso está na área de Cálculo Integral, onde vamos integrar uma função que envolve potências de x. Para resolver, vamos usar a regra básica de integração de potências, que nos permite encontrar a antiderivada de expressões como x elevado a alguma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar o cálculo. A raiz cúbica de x² pode ser expressa como x^(2/3). Assim, a integral fica:
∫x^(2/3) dx

Passo 3

Agora, aplicamos a regra de integração de potências. A fórmula geral para integrar x^n é:
∫x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C
onde n ≠ -1 e C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa regra ao nosso caso, onde n = 2/3:
∫x^(2/3) dx = (x^(2/3 + 1)) / (2/3 + 1) + C

Passo 5

Vamos simplificar os expoentes e os denominadores:
2/3 + 1 = 2/3 + 3/3 = 5/3
Então:
(x^(5/3)) / (5/3) = (3/5) x^(5/3)

Passo 6

Portanto, a antiderivada fica:
(3/5) x^(5/3) + C

Resposta

∫(³√x²)dx = 35 * x^{5/3} + C

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