Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume de um conjunto no espaço tridimensional definido por duas condições:
Vamos usar cálculo em várias integrais para encontrar esse volume. Precisamos entender os limites para cada variável , e .
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as condições dadas:
significa que estamos considerando apenas a parte do espaço onde é positivo.
nos diz que está entre e .
Vamos determinar os intervalos para cada variável.
Passo 3
Vamos começar com . A expressão impõe que . Como , temos , ou seja, . Portanto, varia de a .
Passo 4
Para cada valor de , varia de até . Isso porque e , então não pode ser maior que .
Passo 5
Agora, para cada par , varia de até . Assim, temos todos os limites definidos para as integrais.
Passo 6
Vamos montar a integral tripla para calcular o volume :
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos em relação a :
Substituindo os limites:
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos simplificar e calcular a integral em relação a :
Como a função é par, podemos multiplicar a integral de 0 a 1 por 2: