Calcule o volume do conjunto dado
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume de um conjunto no espaço tridimensional definido por duas condições:
Vamos usar cálculo em várias integrais para encontrar esse volume. Precisamos entender os limites para cada variável , e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as condições dadas:
  • significa que estamos considerando apenas a parte do espaço onde é positivo.
  • nos diz que está entre e .
Vamos determinar os intervalos para cada variável.

Passo 3

Vamos começar com . A expressão impõe que . Como , temos , ou seja, . Portanto, varia de a .

Passo 4

Para cada valor de , varia de até . Isso porque e , então não pode ser maior que .

Passo 5

Agora, para cada par , varia de até . Assim, temos todos os limites definidos para as integrais.

Passo 6

Vamos montar a integral tripla para calcular o volume :

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Substituindo os limites:
Então, a integral fica:

Passo 9

Vamos simplificar e calcular a integral em relação a :
Como a função é par, podemos multiplicar a integral de 0 a 1 por 2:

Passo 10

Agora, integramos termo a termo:
Somando tudo:

Resposta

O volume do conjunto dado é unidades cúbicas.

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